Question

函數f（x）=ax²+3ax+1，若f（x）＞f′（x）對一切x∈R恒成立，則實數a的取值范圍是（　�。�

• A、a＜

  4

  13

• B、a≥0
• C、0＜a＜

  4

  13

• D、0≤a＜

  4

  13

Answer 1

分析：本題先求出函數f（x）的導數，利用f（x）＞f′（x）化簡得到含參數a的二次不等式ax²+ax+1-3a＞0對一切x∈R恒成立，構造函數得到形式上的二次函數g（x）=ax²+ax+1-3a后，對于g（x）＞0恒成立問題，要注意對參數a分類討論，容易地得出解答．

解答：解：因為f′（x）=2ax+3a，所以由f（x）＞f′（x）得ax²+3ax+1＞2ax+3a，即有：ax²+ax+1-3a＞0對一切x∈R恒成立，
設g（x）=ax²+ax+1-3a，
①當a=0時，g（x）=1＞0恒成立，
②當a≠0時，若使g（x）=ax²+ax+1-3a＞0恒成立，由g（x）=的對稱軸x=-

1

2

，則有：

a＞0 g( - 1 2 ) ＞0

，即

a＞0 1 4 a- 1 2 a+1-3a＞0

，得0＜a＜

4

13

，
綜合①②得實數a的取值范圍是：0≤a＜

4

13

故應選：D

點評：本題考查一元二次不等式的應用，含參不等式的恒成立問題的求解，綜合考查了利用函數的倒數來解決問題的能力，分類討論和轉化與化歸思想的應用；對運算能力，思維能力亦有所要求．