已知為兩個(gè)正數(shù)，且，設(shè)當(dāng)，時(shí)，．

（Ⅰ）求證：數(shù)列是遞減數(shù)列，數(shù)列是遞增數(shù)列；

（Ⅱ）求證：；

（Ⅲ）是否存在常數(shù)使得對(duì)任意，有，若存在，求出的取值范圍；若不存在，試說明理由．

(Ⅰ)證明：易知對(duì)任意，，．

由可知即．

同理，，即．

可知對(duì)任意，．

，

所以數(shù)列是遞減數(shù)列．

，

所以數(shù)列是遞增數(shù)列．                   ……………………5分

(Ⅱ)證明：．

                                                          ……………………10分

（Ⅲ）解：由，可得．

若存在常數(shù)使得對(duì)任意，有，

則對(duì)任意，．

即對(duì)任意成立．

即對(duì)任意成立．

設(shè)表示不超過的最大整數(shù)，則有．

即當(dāng)時(shí)，．

與對(duì)任意成立矛盾．

所以，不存在常數(shù)使得對(duì)任意，有． ……14分

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•東城區(qū)二模）已知a，b為兩個(gè)正數(shù)，且a＞b，設(shè)a1=
a+b
2
，b1=
ab
，當(dāng)n≥2，n∈N*時(shí)，an=
an-1+bn-1
2
，bn=
an-1bn-1
．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{an}是遞減數(shù)列，數(shù)列{bn}是遞增數(shù)列；
（Ⅱ）求證：an+1-bn+1＜
1
2
（an-bn）；
（Ⅲ）是否存在常數(shù)C＞0使得對(duì)任意n∈N*，有|an-bn|＞C，若存在，求出C的取值范圍；若不存在，試說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：北京模擬題 題型：解答題

已知a，b為兩個(gè)正數(shù)，且a>b，設(shè)，當(dāng)n≥2，n∈N*時(shí)，。
（1）求證：數(shù)列{an}是遞減數(shù)列，數(shù)列{bn}是遞增數(shù)列；
（2）求證：an+1-bn+1＜；
（3）是否存在常數(shù)C>0，使得對(duì)任意n∈N*，有|an-bn|>C，若存在，求出C的取值范圍；若不存在，試說明理由。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（本小題滿分14分）已知為兩個(gè)正數(shù)，且，設(shè)當(dāng)，時(shí)，．

（Ⅰ）求證：數(shù)列是遞減數(shù)列，數(shù)列是遞增數(shù)列；

（Ⅱ）求證：；

（Ⅲ）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011年北京市東城區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

已知a，b為兩個(gè)正數(shù)，且a＞b，設(shè)a1=，b1=，當(dāng)n≥2，n∈N*時(shí)，an=，bn=．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{an}是遞減數(shù)列，數(shù)列{bn}是遞增數(shù)列；
（Ⅱ）求證：an+1-bn+1＜（an-bn）；
（Ⅲ）是否存在常數(shù)C＞0使得對(duì)任意n∈N*，有|an-bn|＞C，若存在，求出C的取值范圍；若不存在，試說明理由．

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