Question

已知函數(shù)f（x）=，
（1）求f（x）的定義域，
（2）是否存在實數(shù)a，使f（x）是奇函數(shù)？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．
（3）在（2）的條件下，令g（x）=x³•f（x），求證：g（x）＞0．

Answer 1

（1）解：由2^x-1≠0得：x≠0
∴f（x）的定義域為{x|x≠0}；
（2）解：由于f（x）的定義域關于原點對稱，要使f（x）是奇函數(shù)，
則對于定義域{x|x≠0}內(nèi)任意一個x，都有f（-x）=-f（x）即：，
整理得：，∴2a-1=0，解得：，
∴存在實數(shù)，使f（x）是奇函數(shù)；
（3）證明：在（2）的條件下，即，
則，
g（x）的定義域為{x|x≠0}關于原點對稱，且g（-x）=（-x）³f（-x）=x³f（x）=g（x）
則g（x）為偶函數(shù)，其圖象關于y軸對稱．
當x＞0時，2^x＞1，即2^x-1＞0，又2^x+1＞0，x³＞0．
∴．
當x＜0時，由對稱性得：g（x）＞0．
綜上：g（x）＞0成立．
分析：（1）由分式的分母不等于0直接求解函數(shù)的定義域；
（2）函數(shù)的定義域關于原點對稱，假設存在實數(shù)a使f（x）是奇函數(shù)，由奇函數(shù)的定義，對于定義域內(nèi)的任意實數(shù)x
f（-x）=-f（x）恒成立，代入函數(shù)解析式后整理可求得實數(shù)a的值；
（3）把a=代入函數(shù)f（x）的解析式，把g（x）=x³•f（x）整理后可證明函數(shù)函數(shù)g（x）為偶函數(shù)，再證明當x＞0時g（x）＞0，根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)可得x＜0時g（x）＞0，則問題得證．
點評：本題考查了函數(shù)的定義域及其求法，考查了函數(shù)奇偶性的判斷，判斷一個函數(shù)是否具有奇偶性，首先判斷定義域是否是關于原點對稱，若定義域關于原點對稱，然后用定義判斷，否則，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，此題是中檔題．