Question

15．（1）已知函數(shù)f（x）=$\frac{{{x^2}+2x+a}}{x}$，若對于任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）已知x＞1，求f（x）=x+$\frac{1}{x-1}$最小值．

Answer 1

分析 （1）對于任意x∈[1，+∞），函數(shù)f（x）=$\frac{{{x^2}+2x+a}}{x}$＞0轉(zhuǎn)化為x²+2x+a＞0，分離參數(shù)求解即可．
（2）x＞1，f（x）=x+$\frac{1}{x-1}$=x-1+$\frac{1}{x-1}$+1利用基本不等式求解．

解答 解：（1）由題意：對于任意x∈[1，+∞），
函數(shù)f（x）=$\frac{{{x^2}+2x+a}}{x}$＞0轉(zhuǎn)化為x²+2x+a＞0恒成立．
只需：（x²+2x）_min＞-a即可．
由二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)可知：x∈[1，+∞）上y=x²+2x是單調(diào)增函數(shù)，
故得：（x²+2x）_min=3．
所以：3＞-a，即a＞-3．
故得實數(shù)a的取值范圍是（-3，+∞）．
（2）已知x＞1，
∴x-1＞0，
那么：f（x）=x+$\frac{1}{x-1}$=x-1+$\frac{1}{x-1}$+1，
∵（x-1）+$\frac{1}{x-1}$≥$2\sqrt{（x-1）×\frac{1}{x-1}}$，
當且僅當x-1=$\frac{1}{x-1}$，即x=2時取等式．
∴f（x）的最小值為2+1=3．

點評 本題考查了恒成立問題，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為不等式問題求解．轉(zhuǎn)化思想．利用解不等式的性質(zhì)求解最值問題．屬于基礎(chǔ)題．