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17.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn,若S1=23Sn22an+1Sn=a2n+1,則an={2n=12n1n2

分析 把已知數(shù)列遞推式變形,可得an+1an=2(n≥2),即數(shù)列{an}從第二項(xiàng)起構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列,再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得答案.

解答 解:由S1=2,得a1=S1=2,
3Sn22an+1Sn=an+12,
4Sn2=Sn+an+12
又an>0,
∴2Sn=Sn+an+1,即Sn=an+1,
當(dāng)n≥2時(shí),Sn-1=an,
兩式作差得:an=an+1-an,即an+1an=2,
又由S1=23Sn22an+1Sn=a2n+1,求得a2=2,
∴當(dāng)n≥2時(shí),an=2n1
驗(yàn)證n=1時(shí)不成立,
an={2n=12n1n2,
故答案為:{2n=12n1n2

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式,考查了等比關(guān)系的確定,訓(xùn)練了等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法,是中檔題.

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