Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=

2

3

，且a_n+1•（a_n+1）=2a_n
（1）求證：{

1

an

-1}是對比數(shù)列；
（2）令b_n=

1

an

+2（n-1），求{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由題意將遞推公式變形：

2

an+1

=

1

an

+1，可得2(

1

an+1

-1)=

1

an

-1，由等比數(shù)列的定義即可證明；
（2）由等比數(shù)列的通項公式求出

1

an

-1，代入b_n=

1

an

+2（n-1）求出b_n，由分組求和法和等差、等比數(shù)列的前n項和公式求出S_n．

解答： 證明：（1）由題意知：a_n+1•（a_n+1）=2a_n，a₁=

2

3

，
所以a_n＞0，且a_n+1•a_n+a_n+1=2a_n，
則

2

an+1

=

1

an

+1，即2(

1

an+1

-1)=

1

an

-1，
又

1

a1

-1=

1

2

≠0，所以

1 an+1 -1

1 an -1

=

1

2

，
則數(shù)列{

1

an

-1}是以

1

2

為首項、公比的等比數(shù)列；
解：（2）由（1）可得，

1

an

-1=

1

2

•(

1

2

)n-1=

1

2n

，
則

1

an

=

1

2n

+1，所以b_n=

1

an

+2（n-1）=

1

2n

+1+2n-2=

1

2n

+2n-1，
所以{b_n}的前n項和S_n=（

1

2

+1）+（

1

22

+3）+（

1

23

+5）+…+（

1

2n

+2n-1）
=（

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

）+（1+3+5+…+2n-1）
=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

+

n(1+2n-1)

2

=1-

1

2n

+n2．

點評：本題考查等比數(shù)列的證明方法：定義法，等差、等比數(shù)列的前n項和公式，及數(shù)列的求和方法：分組求和法，注意等比數(shù)列的限制條件，屬于中檔題．