Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

1-x

ax

+lnx(a≠0)．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[

1

2

，2]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)f（x）的極值；
（2）求導(dǎo)函數(shù)可得f′(x)=

ax-1

ax2

(x＞0)，分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)f（x）在區(qū)間[

1

2

，2]上的最小值．

解答：解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=

1-x

x

+lnx（x＞0）
求導(dǎo)函數(shù)可得f′(x)=

x-1

x2

(x＞0)
令f′（x）＞0，可得x＞1；令f′（x）＜0，可得0＜x＜1；
∴函數(shù)在（0，1）上單調(diào)減，在（1，+∞）上單調(diào)增
∴函數(shù)的極小值為f（1）=0，無極大值；
（2）求導(dǎo)函數(shù)可得f′(x)=

ax-1

ax2

(x＞0)
①a＜0時(shí)，f′（x）＞0，∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[

1

2

，2]上單調(diào)遞增
∴f（x）_min=f（

1

2

）=

1

a

+ln

1

2

；
②a＞0時(shí)，（0，

1

a

）上，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；（

1

a

，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
1°當(dāng)2≤

1

a

，即0＜a≤

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[

1

2

，2]上單調(diào)遞減，∴f（x）_min=f（2）=-

1

2a

+ln2；
2°當(dāng)

1

2

＜

1

a

＜2，即

1

2

＜a＜2時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[

1

2

，

1

a

]上單調(diào)遞減，在[

1

a

，2]上單調(diào)遞增
∴f（x）_min=f（

1

a

）=1-

1

a

+ln

1

a

；
3°當(dāng)

1

a

≤

1

2

，即a≥2時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[

1

2

，2]上單調(diào)遞增，∴f（x）_min=f（

1

2

）=

1

a

+ln

1

2

；
綜上，f（x）_min=

1 a +ln 1 2 ，a＜0或a≥2 1- 1 a +ln 1 a ， 1 2 ＜a＜2 - 1 2a +ln2，0＜a≤ 1 2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，正確求導(dǎo)，合理分類是關(guān)鍵．