【題目】某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn),以下五個式子的值都等于同一個常數(shù).
1)sin213°+cos217°﹣sin13°cos17°
2)sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°
3)sin218°+cos212°﹣sin18°cos12°
4)sin2(﹣18°)+cos248°﹣sin2(﹣18°)cos48°
5)sin2(﹣25°)+cos255°﹣sin2(﹣25°)cos55°
(Ⅰ)試從上述五個式子中選擇一個,求出這個常數(shù);
(Ⅱ)根據(jù)(Ⅰ)的計算結(jié)果,將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式,并證明你的結(jié)論.
【答案】解:選擇(2),計算如下:
sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°=1﹣ sin30°= ,故 這個常數(shù)為 .
(Ⅱ)根據(jù)(Ⅰ)的計算結(jié)果,將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣,得到三角恒等式sin2α+cos2(30°﹣α)﹣sinαcos(30°﹣α)= .
證明:(方法一)sin2α+cos2(30°﹣α)﹣sinαcos(30°﹣α)=sin2α+ ﹣sinα(cos30°cosα+sin30°sinα)
=sin2α+ cos2α+ sin2α+ sinαcosα﹣ sinαcosα﹣ sin2α= sin2α+ cos2α= .
(方法二)sin2α+cos2(30°﹣α)﹣sinαcos(30°﹣α)= + ﹣sinα(cos30°cosα+sin30°sinα)
=1﹣ + (cos60°cos2α+sin60°sin2α)﹣ sin2α﹣ sin2α
=1﹣ + cos2α+ sin2α﹣ sin2α﹣ =1﹣ ﹣ + = .
【解析】(Ⅰ)選擇(2),由sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°=1﹣ sin30°= ,可得這個常數(shù)的值.
(Ⅱ)推廣,得到三角恒等式sin2α+cos2(30°﹣α)﹣sinαcos(30°﹣α)= .證明方法一:直接利用兩角差的余弦公式代入等式的左邊,化簡可得結(jié)果.
證明方法二:利用半角公式及兩角差的余弦公式把要求的式子化為 + ﹣sinα(cos30°cosα+sin30°sinα),即 1﹣ + cos2α+ sin2α
﹣ sin2α﹣ ,化簡可得結(jié)果
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【題目】坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系xOy中,圓C的參數(shù)方程 (φ為參數(shù)).以O(shè)為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.
(1)求圓C的極坐標方程;
(2)射線OM:θ= 與圓C的交點為O、P兩點,求P點的極坐標.
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【題目】已知橢圓 : ( )的離心率為 , 為橢圓 上位于第一象限內(nèi)的一點.
(1)若點 的坐標為 ,求橢圓 的標準方程;
(2)設(shè) 為橢圓 的左頂點, 為橢圓 上一點,且 ,求直線 的斜率.
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【題目】如圖所示,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,點E在線段PC上,PC⊥平面BDE.
(1)證明:BD⊥平面PAC;
(2)若PA=1,AD=2,求二面角B﹣PC﹣A的正切值.
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【題目】已知分別是橢圓的左、右焦點,離心率為, 分別是橢圓的上、下頂點, .
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線與橢圓交于相異兩點,且滿足直線的斜率之積為,證明:直線恒過定點,并采定點的坐標.
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【題目】如圖,在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=1,BC=,點M在棱CC1上,且MD1⊥MA,則當△MAD1的面積最小時,棱CC1的長為( 。
A. B. C. 2 D.
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【題目】如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,線段B1D1上有兩個動點E,F(xiàn),且EF= , 則下列結(jié)論中錯誤的個數(shù)是( )
(1) AC⊥BE.
(2) 若P為AA1上的一點,則P到平面BEF的距離為.
(3) 三棱錐A-BEF的體積為定值.
(4) 在空間與DD1,AC,B1C1都相交的直線有無數(shù)條.
(5) 過CC1的中點與直線AC1所成角為40并且與平面BEF所成角為50的直線有2條.
A.0
B.1
C.2
D.3
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【題目】下列說法正確的是
A. 命題“”的否定是:“”
B. 命題“若,則”的否命題為“若,則”
C. 若命題為真,為假,則為假命題
D. “任意實數(shù)大于”不是命題
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