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14.已知{an}是正項等差數(shù)列,?n∈N*,數(shù)列{1anan+1}的前n項和Sn=n2n+4
(Ⅰ)求an;
(Ⅱ)設(shè)bn=(-1)nan2,n∈N*,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn

分析 (I)設(shè)正項等差數(shù)列{an}的公差為d,由1anan+1=1kf99at91an1an+1.利用“裂項求和”可得:數(shù)列{1anan+1}的前n項和Sn=199yo9lf1a11an+1=n2n+4
分別取n=1,2即可得出.
(II)bn=(-1)nan2=(-1)n(n+1)2,可得:b2k-1+b2k=-(n+1)2+(n+2)2=2n+3.當(dāng)n=2k(k∈N*)時,數(shù)列{bn}的前n項和Tn=(b1+b2)+(b3+b4)+…+(b2k-1+b2k),即可得出.當(dāng)n=2k-1(k∈N*)時,數(shù)列{bn}的前n項和Tn=Tn-1+an,即可得出.

解答 解:(I)設(shè)正項等差數(shù)列{an}的公差為d,
1anan+1=1yosg98h1an1an+1
∴數(shù)列{1anan+1}的前n項和Sn=1xsgponw[1a11a2+1a21a3+…+1an1an+1]
=1hhgkt9n1a11an+1=n2n+4
n=1時,1yo85dxg1a11a1+d=16
n=2時,1graenw91a11a1+2d=22×2+4=14
化簡解得:a1=2,d=1.
∴an=2+(n-1)=n+1.
(II)bn=(-1)nan2=(-1)n(n+1)2,
∴b2k-1+b2k=-(n+1)2+(n+2)2=2n+3.
當(dāng)n=2k(k∈N*)時,數(shù)列{bn}的前n項和Tn=(b1+b2)+(b3+b4)+…+(b2k-1+b2k
=(2×1+3)+(2×2+3)+…+(2×k+3)
=2×kk+12+3k
=k2+4k
=n24+2n.
當(dāng)n=2k-1(k∈N*)時,數(shù)列{bn}的前n項和Tn=Tn-1+an
=n124+2n1-(n+1)2
=3n2+2n+114
∴Tn=\left\{\begin{array}{l}{\frac{{n}^{2}}{4}+2n,n為偶數(shù)}\\{-\frac{3{n}^{2}+2n+11}{4},n為奇數(shù)}\end{array}\right.

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“裂項求和”方法,考查了分類討論方法、推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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