Question

15．已知函數(shù)f（x）的定義域為R，對任意x₁＜x₂，有f（x₁）-f（x₂）＜x₁-x₂，且f（-3）=-4，則不等式f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$|3^x-1|）＞log${\;}_{\frac{1}{2}}$|3^x-1|-1的解集為（　�。�

• A． （2，+∞）
• B． （-∞，2）
• C． （0，1）∪（1，2）
• D． （-∞，0）∪（0，2）

Answer 1

分析 由題意可得函數(shù)R（x）=f（x）-x是R上的增函數(shù)，由不等式f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$|3^x-1|）＞log${\;}_{\frac{1}{2}}$|3^x-1|-1，可得f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$|3^x-1|）-log${\;}_{\frac{1}{2}}$|3^x-1|＞-1=f（-3）-（-3），得到log${\;}_{\frac{1}{2}}$|3^x-1|＞-3，由此求得x的范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）的定義域為R，對任意x₁＜x₂，有f（x₁）-f（x₂）＜x₁-x₂，
即 $\frac{[f{（x}_{1}）{-x}_{1}]-[f{（x}_{2}）{-x}_{2}]}{{x}_{1}{-x}_{2}}$＞0，
故函數(shù)R（x）=f（x）-x是R上的增函數(shù)，
由不等式f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$|3^x-1|）＞log${\;}_{\frac{1}{2}}$|3^x-1|-1，可得f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$|3^x-1|）-log${\;}_{\frac{1}{2}}$|3^x-1|＞-1=f（-3）-（-3），
∴l(xiāng)og${\;}_{\frac{1}{2}}$|3^x-1|＞-3，故-8＜3^x-1＜8，解得：x＜2，
由3^x-1≠0，解得：x≠0，
故選：D．

點評 本題主要考查函數(shù)的單調性和奇偶性的應用，判斷函數(shù)R（x）=f（x）+x是R上的增函數(shù)，是解題的關鍵，屬于中檔題．