Question

已知函數(shù)f(x)＝e^x，a，bR，且a＞0．
⑴若a＝2，b＝1，求函數(shù)f(x)的極值；
⑵設(shè)g(x)＝a(x－1)e^x－f(x)．
①當(dāng)a＝1時(shí)，對(duì)任意x (0，＋∞)，都有g(shù)(x)≥1成立，求b的最大值；
②設(shè)g′(x)為g(x)的導(dǎo)函數(shù)．若存在x＞1，使g(x)＋g′(x)＝0成立，求的取值范圍．

Answer 1

⑴f (x)的極大值是f (－1)＝e^－1，f (x)的極小值是f ()＝4;⑵① －1－e^－1 ;②（－1，＋∞）．

試題分析： ⑴由 a＝2，b＝1得，f (x)＝(2＋)e^x, 定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞);從而可求得 f ′(x)＝e^x, 令f ′(x)＝0，得x₁＝－1，x₂＝，列表可求得f (x)的極值.
⑵①當(dāng)a＝1時(shí)，g (x)＝(x－－2)e^x,由已知得不等式g (x)≥1在x∈（0，＋∞）上恒成立,即b≤x²－2x－在x∈（0，＋∞）上恒成立,從而b≤(x²－2x－)_min x∈(0，＋∞）,令h(x)＝x²－2x－（x＞0）利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)求出h(x)的最小值即可.
②由于g (x)＝(ax－－2a)e^x，所以g ′(x)＝(＋ax－－a)e^x; 由g (x)＋g ′(x)＝0，得(ax－－2a)e^x＋(＋ax－－a)e^x＝0，整理得2ax³－3ax²－2bx＋b＝0．
存在x＞1，使g (x)＋g ′(x)＝0成立，等價(jià)于存在x＞1，2ax³－3ax²－2bx＋b＝0成立．
注意到a＞0，所以＝（x＞1）;設(shè)u(x)＝（x＞1），則問(wèn)題等價(jià)于的最小值(或下確界),利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)可判斷u(x)在上的單調(diào)性可求得從而可得的取值范圍為（－1，＋∞）．
試題解析：⑴當(dāng)a＝2，b＝1時(shí)，f (x)＝(2＋)e^x，定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)．
所以f ′(x)＝e^x．令f ′(x)＝0，得x₁＝－1，x₂＝，列表

x	(－∞，－1)	－1	(－1，0)	(0，)		(，＋∞)
f ′(x)			－	－
f (x)	↗	極大值	↘	↘	極小值	↗

 
由表知f (x)的極大值是f (－1)＝e^－1，f (x)的極小值是f ()＝4．
⑵① 因?yàn)間 (x)＝(ax－a)e^x－f (x)＝(ax－－2a)e^x，當(dāng)a＝1時(shí)，g (x)＝(x－－2)e^x．
因?yàn)間 (x)≥1在x∈（0，＋∞）上恒成立，所以b≤x²－2x－在x∈（0，＋∞）上恒成立．
記h(x)＝x²－2x－（x＞0），則h′(x)＝．
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h′(x)＜0，h(x)在（0，1）上是減函數(shù)；
當(dāng)x＞1時(shí)，h′(x)＞0，h(x)在（1，＋∞）上是增函數(shù)．
所以h(x)_min＝h(1)＝－1－e^－1．所以b的最大值為－1－e^－1．
②因?yàn)間 (x)＝(ax－－2a)e^x，所以g ′(x)＝(＋ax－－a)e^x．
由g (x)＋g ′(x)＝0，得(ax－－2a)e^x＋(＋ax－－a)e^x＝0，整理得2ax³－3ax²－2bx＋b＝0．
存在x＞1，使g (x)＋g ′(x)＝0成立，等價(jià)于存在x＞1，2ax³－3ax²－2bx＋b＝0成立．
因?yàn)閍＞0，所以＝．設(shè)u(x)＝（x＞1），則u′(x)＝．
因?yàn)閤＞1，u′(x)＞0恒成立，所以u(píng)(x)在（1，＋∞）是增函數(shù)，所以u(píng)(x)＞u(1)＝－1，
所以＞－1，即的取值范圍為（－1，＋∞）．