Question

如圖，在四面體A-BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，CD=2，AD=4．M是AD的中點，P是BM的中點，點Q在線段AC上，且AQ=3QC．
（1）證明：PQ∥平面BCD；
（2）若異面直線PQ與CD所成的角為45°，二面角C-BM-D的大小為θ，求cosθ的值．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,異面直線及其所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）連AP并延長交BD于E，連CE，過M作MN∥BD交AP于N，由已知條件推導出PQ∥CE．由此能證明PQ∥平面BCD．
（2）過C作CF⊥BD于F，作CR⊥BM于R，連FR．由已知條件推導出∠CRF=θ即為二面角C-BM-D的平面角，由此能求出cosθ的值．

解答： （1）證明：如圖，連AP并延長交BD于E，連CE，
過M作MN∥BD交AP于N，則AN=NE，NP=PE．
故AP=3PE，從而PQ∥CE．
因PQ?平面BCD，CE?平面BCD，
故PQ∥平面BCD．
（2）解：過C作CF⊥BD于F，作CR⊥BM于R，連FR．
因AD⊥平面BCD，故平面ABD⊥平面BCD，
故CF⊥平面ABD，因此CF⊥BM，從而BM⊥平面RCF，
所以∠CRF=θ即為二面角C-BM-D的平面角．
因PQ∥CE，故∠DCE=45°，因此CE即為∠BCD的角平分線．
由 （1）知DE=2MN=2EB，故DC=2BC，
從而BC=1，CF=

1•2

12+22

=

2

5

．
由題意知BC⊥平面ACD，故BC⊥CM．
由題意知CM=2

2

，故CR=

1•2 2

1+8

=

2 2

3

．
所以sinθ=

CF

CR

=

3

10

，從而cosθ=

1

10

=

10

10

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．