Question

如圖，在長(zhǎng)方體中，

，點(diǎn)在棱上移動(dòng) 

 （Ⅰ）證明：；

 （Ⅱ）當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)到面的距離；

 （Ⅲ）等于何值時(shí)，二面角的大小為 

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）見(jiàn)解析（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】本小題主要考查向量語(yǔ)言表述線(xiàn)線(xiàn)的垂直、平行關(guān)系、點(diǎn)到平面的距離和線(xiàn)面關(guān)系等基本知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力和推理、運(yùn)算能力．

（1）建立如圖的坐標(biāo)系，則

DA1

=(1，0，1)，設(shè)E（1，t，0），則

D1E

=(1，t，-1)，通過(guò)向量的數(shù)量積為0，計(jì)算可得D₁E⊥A₁D；

（2）當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，E（1，1，0），

D1E

=(1，1，-1)，求出平面ACD₁的一個(gè)法向量，最后利用點(diǎn)到面的距離公式即可求點(diǎn)E到面ACD₁的距離．

（3）（2）連接DE，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，及線(xiàn)面垂直的判定和性質(zhì)，可得DE⊥EC，D₁E⊥EC，進(jìn)而由∠D₁ED即為二面角D₁-EC-D的平面角，解三角形D₁ED即可得到二面角D₁-EC-D的大��；

解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則

（Ⅰ）        ………4分

（Ⅱ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012091821054125853711/SYS201209182106302397374758_DA.files/image009.png">為的中點(diǎn)，則，從而，

，設(shè)平面的法向量為，則

也即，得，從而，所以點(diǎn)到平面的距離為            ………8分

（Ⅲ）設(shè)平面的法向量，

  ∴

由  令，

∴

依題意

∴（不合，舍去），  

∴時(shí)，二面角的大小為        ………12分