Question

20．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=m（m＞0），a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}-1，{a}_{n}＞1}\\{\frac{1}{{a}_{n}}，0＜{a}_{n}≤1}\end{array}\right.$，若a₃=4，則m的所有取值之積為（　　）

• A． 1
• B． $\frac{3}{2}$
• C． 2
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 對m分類討論，利用遞推關(guān)系得出m的所有取值，即可得出結(jié)論．

解答 解：數(shù)列{a_n}滿足a₁=m（m＞0），a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}-1，{a}_{n}＞1}\\{\frac{1}{{a}_{n}}，0＜{a}_{n}≤1}\end{array}\right.$，a₃=4，
①若m＞2，則a₂=m-1＞1，∴a₃=m-2=4，解得m=6．
②若m=2，則a₂=m-1=1，∴a₃=$\frac{1}{{a}_{2}}$=1≠4，舍去．
③若1＜m＜2，則a₂=m-1∈（0，1），∴a₃=$\frac{1}{m-1}$=4，解得m=$\frac{5}{4}$．
④若m=1，則a₂=$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，∴a₃=$\frac{1}{{a}_{2}}$≠4，舍去．
⑤若0＜m＜1，則a₂=$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{m}$＞1，∴a₃=a₂-1=$\frac{1}{m}$-1=4，解得m=$\frac{1}{5}$．
綜上可得：m∈{6，$\frac{5}{4}$，$\frac{1}{5}$}，
∴m的所有取值之積為6×$\frac{5}{4}$×$\frac{1}{5}$=$\frac{3}{2}$．
故選：B．

點評 本題考查了等比數(shù)列的通項公式、遞推關(guān)系，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．