【題目】已知函數(shù)(為自然對數(shù)的底, 為常數(shù)).
(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅱ)對于函數(shù)和,若存在常數(shù),對于任意,不等式都成立,則稱直線是函數(shù)的分界線,設(shè),問函數(shù)與函數(shù)是否存在“分界線”?若存在,求出常數(shù);若不存在,說明理由.
【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ)見解析.
【解析】試題分析:(Ⅰ)當時,得在上單調(diào)遞增,再分和兩種情況討論,即可求解函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅱ)把存在恒成立,轉(zhuǎn)化為恒成立,進而只需判斷是否恒成立,設(shè)出新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)單調(diào)性和最值,即可求解實數(shù)的值.
試題解析:
(Ⅰ)當時, ,則在上單調(diào)遞增
當時, ,令
若,則隨的變化情況如下表:
則在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增
若,則隨的變化情況如下表:
則在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減
綜上,當時, 在R上單調(diào)遞增;當時, 在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增;當時, 在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減
(Ⅱ)若存在,則恒成立,令,則,則
恒成立即恒成立,由得
現(xiàn)在只需判斷是否恒成立
設(shè),則,令
且當時, ;當時,
則在處取得最小值,且
則恒成立,即證恒成立
故存在分界線,且, ,
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商店銷售某海鮮,統(tǒng)計了春節(jié)前后50天該海鮮的需求量(,單位:公斤),其頻率分布直方圖如圖所示,該海鮮每天進貨1次,商店每銷售1公斤可獲利50元;若供大于求,剩余的削價處理,每處理1公斤虧損10元;若供不應(yīng)求,可從其它商店調(diào)撥,銷售1公斤可獲利30元.假設(shè)商店每天該海鮮的進貨量為14公斤,商店的日利潤為元.
(1)求商店日利潤關(guān)于需求量的函數(shù)表達式;
(2)假設(shè)同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替.
①求這50天商店銷售該海鮮日利潤的平均數(shù);
②估計日利潤在區(qū)間內(nèi)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:,點為橢圓外一點,過點向橢圓作兩條切線,當兩條切線相互垂直時,點在一個定圓上運動,則該定圓的方程為__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將這9個正整數(shù)分別寫在三張卡片上,要求每一張卡片上的任意兩數(shù)之差都不在這張卡片上,現(xiàn)在第一張卡片上已經(jīng)寫有和,第二張卡片上寫有,第三張卡片上寫有,則應(yīng)該寫在第__________張卡片上;第三張卡片上的所有書組成的集合是__________.
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【題目】如圖,D是AC的中點,四邊形BDEF是菱形,平面平面ABC,,,.
若點M是線段BF的中點,證明:平面AMC;
求平面AEF與平面BCF所成的銳二面角的余弦值.
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【題目】已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,其中第一項是,接下來的兩項是,,再接下來的三項是,,,依此類推那么該數(shù)列的前50項和為
A. 1044 B. 1024 C. 1045 D. 1025
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若函數(shù)在區(qū)間上的最大值是最小值是則
A. 與有關(guān),且與有關(guān) B. 與有關(guān),但與無關(guān)
C. 與無關(guān),且與無關(guān) D. 與無關(guān),但與有關(guān)
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【題目】某校為了解畢業(yè)班學(xué)業(yè)水平考試學(xué)生的數(shù)學(xué)考試情況,抽取了該校100名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績,將所有數(shù)據(jù)整理后,畫出了樣頻率分布直方圖(所圖所示),若第1組第9組的頻率各為x.
(1)求x的值,并估計這次學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)成績的眾數(shù);
(2)若全校有1500名學(xué)生參加了此次考試,估計成績在[80,100)分內(nèi)的人數(shù).
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【題目】將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角A-BD-C,下列結(jié)論正確的是( )
A.AC⊥BDB.△ACD是等邊三角形
C.AB與平面BCD成角D.AB與CD所成的角是60°
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