Question

20．已知直線l過定點P（1，0），且與C：（x-2）²+（y-$\sqrt{2}$）²=2圓相交于A，B兩點．
（Ⅰ）若直線l的傾斜角為$\frac{π}{4}$，求線段AB中點M的坐標(biāo)；
（Ⅱ）當(dāng)△ABC的面積最大時，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直線與圓相交，由幾何意義知，CM⊥l，可得CM所在直線方程，聯(lián)立方程求線段AB中點M的坐標(biāo)；
（Ⅱ）當(dāng)△ABC的面積最大時，CA⊥CB，所以圓心$C（{2，\sqrt{2}}）$到直線y=k（x-1）的距離為1，即可求直線l的方程．

解答 解：（Ⅰ）過點P（1，0）且傾斜角為$\frac{π}{4}$的直線l的方程為y=x-1．
直線與圓相交，由幾何意義知，CM⊥l，
所以CM所在直線方程為$y=-x+2+\sqrt{2}$．
解方程組$\left\{\begin{array}{l}y=x-1\\ y=-x+2+\sqrt{2}\end{array}\right.$得點M的坐標(biāo)為$（{\frac{{3+\sqrt{2}}}{2}，\frac{{1+\sqrt{2}}}{2}}）$（5分）
（Ⅱ）當(dāng)直線l有斜率時，設(shè)方程為y=k（x-1）．
當(dāng)△ABC的面積最大時，CA⊥CB，所以圓心$C（{2，\sqrt{2}}）$到直線y=k（x-1）的距離為1，
所以$\frac{{|{2k-\sqrt{2}-k}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=1$，解得$k=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，（8分）
當(dāng)直線l無斜率時，即直線方程為x=1，經(jīng)檢驗也符合題意，
所以直線l方程為$y=\frac{{\sqrt{2}}}{4}（x-1）$和x=1．（10分）

點評 本題綜合考查了直線與圓的位置關(guān)系，考查直線方程，點到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于中檔題．