(2013•汕尾二模)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知an+1=2Sn+2(n∈N*)
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)在an與an+1之間插入n個(gè)數(shù),使這n+2個(gè)數(shù)組成公差為dn的等差數(shù)列(如:在a1與a2之間插入1個(gè)數(shù)構(gòu)成第一個(gè)等差數(shù)列,其公差為d1;在a2與a3之間插入2個(gè)數(shù)構(gòu)成第二個(gè)等差數(shù)列,其公差為d2,…以此類推),設(shè)第n個(gè)等差數(shù)列的和是An.是否存在一個(gè)關(guān)于n的多項(xiàng)式g(n),使得An=g(n)dn對(duì)任意n∈N*恒成立?若存在,求出這個(gè)多項(xiàng)式;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)對(duì)于(2)中的數(shù)列d1,d2,d3,…,dn,…,這個(gè)數(shù)列中是否存在不同的三項(xiàng)dm,dk,dp(其中正整數(shù)m,k,p成等差數(shù)列)成等比數(shù)列,若存在,求出這樣的三項(xiàng);若不存在,說(shuō)明理由.
分析:(1)n≥2時(shí),由an+1=2Sn+2,再寫一式,兩式相減,即可求得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)先求得dn,從而可得第n個(gè)等差數(shù)列的和An,由此可得結(jié)論;
(3)利用反證法.假設(shè)在數(shù)列{dn}中存在dm,dk,dp(其中m,k,p成等差數(shù)列)成等比數(shù)列,由此可得m=k=p這與題設(shè)矛盾.
解答:解:(1)n≥2時(shí),由an+1=2Sn+2,①;
得an=2Sn-1+2,②;
兩式相減可得:an+1-an=2an,∴an+1=3an,即數(shù)列{an}的公比為3
∵n=1時(shí),a2=2S1+2,∴3a1=2a1+2,解得a1=2,
∴an=2×3n-1;
(2)由(1)知an=2×3n-1,an+1=2×3n,
因?yàn)閍n+1=an+(n+1)dn,所以dn=
4×3n-1
n+1

第n個(gè)等差數(shù)列的和是An=(n+2)an+
(n+2)(n+1)
2
×
4×3n-1
n+1
=4(n+2)×3n-1=(n+2)(n+1)dn,
∴存在一個(gè)關(guān)于n的多項(xiàng)式g(n)=(n+2)(n+1),使得An=g(n)dn對(duì)任意n∈N*恒成立;
(3)假設(shè)在數(shù)列{dn}中存在dm,dk,dp(其中m,k,p成等差數(shù)列)成等比數(shù)列
則dk2=dmdp,即(
4×3k-1
k+1
2=
4×3m-1
m+1
×
4×3p-1
p+1

因?yàn)閙,k,p成等差數(shù)列,所以m+p=2k①
上式可以化簡(jiǎn)為k2=mp②
由①②可得m=k=p這與題設(shè)矛盾
所以在數(shù)列{dn}中不存在三項(xiàng)dm,dk,dp(其中m,k,p成等差數(shù)列)成等比數(shù)列.
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解,考查等差數(shù)列的求和,考查反證法思想,確定數(shù)列的通項(xiàng),利用數(shù)列的求和公式是關(guān)鍵.
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100
100
塊.

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(1)每次只能移動(dòng)一個(gè)金屬片;
(2)在每次移動(dòng)過(guò)程中,每根針上較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面.將n個(gè)金屬片從1號(hào)針移到3號(hào)針最少需要移動(dòng)的次數(shù)記為f(n);
①f(3)=
7
7
;
②f(n)=
2n-1
2n-1

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