Question

9．已知函數(shù)f（x）=2cos（2x+φ）（|φ|＜$\frac{π}{2}$）在區(qū)間（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{12}$]上單調(diào)，則2sin（φ-$\frac{π}{3}$）的取值范圍是（　�。�

• A． （-1，1]
• B． （-$\sqrt{3}$，1]
• C． （-2，1]
• D． [-2，1]

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)f（x）在區(qū)間（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{12}$]上單調(diào)，求出φ的取值范圍，再求函數(shù)2sin（φ-$\frac{π}{3}$）的取值范圍．

解答 解：∵x∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{12}$]，
∴2x∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴$\frac{π}{3}$+φ＜2x+φ≤$\frac{5π}{6}$+φ；
又函數(shù)f（x）=2cos（2x+φ）（|φ|＜$\frac{π}{2}$）在區(qū)間（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{12}$]上單調(diào)，
∴$\frac{π}{3}$+φ＞kπ，k∈Z①，
且$\frac{5π}{6}$+φ≤kπ+π，k∈Z②；
解得kπ-$\frac{π}{3}$＜φ≤kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
又|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴-$\frac{π}{3}$＜φ≤$\frac{π}{6}$，
∴-$\frac{2π}{3}$＜φ-$\frac{π}{3}$≤-$\frac{π}{6}$；
∴-$\sqrt{3}$＜2sin（φ-$\frac{π}{3}$）≤-1
2sin（φ-$\frac{π}{3}$）的取值范圍是（-$\sqrt{3}$，-1]．
故選：B．

點評 本題考查了正弦、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了不等式的性質(zhì)與應(yīng)用問題，是綜合性題目．