Question

已知函數(shù)f（x）=x²-x+alnx在x=

3

2

處取得極值．
（1）求曲線y=f（x）在點（1，0）處的切線方程．
（2）求函數(shù)的單調區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）求出f′（x），因為函數(shù)在x=

3

2

處取得極值得到f′（

3

2

）=0，解出a的值即可得到f′（x）的解析式，然后求出f′（1）即得到切線的斜率，寫出切線方程即可；
（2）求出函數(shù)的定義域，令f′（x）大于0求出x的范圍即為函數(shù)的增區(qū)間；令f′（x）小于0求出x的范圍即為函數(shù)的減區(qū)間．

解答：解：（1）f′(x)=2x-1+

a

x

=

2x2-x+a

x

，
∵f(x)在x=

3

2

處取得極值，∴f′(

3

2

)=0，
∴2×(

3

2

)2-

3

2

+a=0，∴a=-3，經(jīng)檢驗符合題意，
∴f′（x）=

2x2-x-3

x

，
∴切線的斜率k=f′（1）=-2
則曲線y=f（x）在點（1，0）處的切線方程為y=-2（x-1），即2x+y-2=0；
（2）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
當f′(x)=

2x2-x-3

x

＞0，可得x＞

3

2

時，函數(shù)遞增；
當f′（x）=

2x2-x-3

x

＜0，可得0＜x＜

3

2

時，函數(shù)遞減，
則f（x）的單調遞增區(qū)間為(

3

2

，+∞)，單調遞減區(qū)間為(0，

3

2

)．

點評：考查學生會利用導數(shù)研究函數(shù)的極值和單調性，掌握求函數(shù)的增減區(qū)間轉化為導函數(shù)大于或小于0時x的范圍．