Question

已知x=﹣2與x=4是函數f（x）=﹣x³+ax²+bx的兩個極值點．

（1）求常數a、b的值；

（2）判斷函數x=﹣2，x=4處的值是函數的極大值還是極小值，并說明理由．

Answer 1

考點：

函數在某點取得極值的條件．

專題：

導數的概念及應用．

分析：

（1）先對函數f（x）進行求導，由題意知﹣2，4是方程f'（x）=0的兩實根，由韋達定理可求出a，b的值．

（2）將a，b的值代入導函數，然后根據導函數的符號及極值點的定義可確定是極大值還是極小值．

解答：

解：（1）f′（x）=﹣3x²+2ax+b．

由極值點的必要條件可知x=﹣2和x=4是方程f′（x）=0的兩根，

則﹣2+4=，﹣2×4=，解得a=3，b=24．

（2）由（1）知，f′（x）=﹣3x²+6x+24=﹣3（x+2）（x﹣4），

當x＜﹣2或x＞4時，f′（x）＜0；

當﹣2＜x＜4時，f′（x）＞0．

∴當x=﹣2時f（x）取得極小值，x=4時f（x）取得極大值．

點評：

本題主要考查函數的單調性、極值點與其導函數之間的關系．屬基礎題．