A. | e${\;}^{-\frac{1}{3}}$+$\frac{4}{3}$ | B. | e${\;}^{\frac{1}{3}}$+$\frac{4}{3}$ | C. | e${\;}^{\frac{1}{3}}$-$\frac{4}{3}$ | D. | e${\;}^{-\frac{1}{3}}$-$\frac{4}{3}$ |
分析 化簡(jiǎn)f(x)=-x+log2$\frac{1-x}{1+x}$=-x+log2($\frac{2}{1+x}$-1),從而由復(fù)合函數(shù)及函數(shù)的四則運(yùn)算可得函數(shù)f(x)是[-$\frac{1}{3}$,$\frac{1}{3}$]上的減函數(shù);化簡(jiǎn)可得方程m=e-x+f(x)在[-$\frac{1}{3}$,$\frac{1}{3}$]內(nèi)有實(shí)數(shù)解,而函數(shù)y=e-x+f(x)=e-x-x+log2$\frac{1-x}{1+x}$在[-$\frac{1}{3}$,$\frac{1}{3}$]上是減函數(shù),從而可得實(shí)數(shù)m的最小值是${e}^{-\frac{1}{3}}$-$\frac{1}{3}$+log2$\frac{1}{2}$=${e}^{-\frac{1}{3}}$-$\frac{4}{3}$.
解答 解:∵f(x)=-x+log2$\frac{1-x}{1+x}$=-x+log2($\frac{2}{1+x}$-1),
而y=-x是[-$\frac{1}{3}$,$\frac{1}{3}$]上的減函數(shù),y=$\frac{2}{1+x}$-1是[-$\frac{1}{3}$,$\frac{1}{3}$]上的減函數(shù),y=log2x是(0,+∞)上的增函數(shù),
∴函數(shù)f(x)是[-$\frac{1}{3}$,$\frac{1}{3}$]上的減函數(shù);
∵方程m-e-x=f(x)在[-$\frac{1}{3}$,$\frac{1}{3}$]內(nèi)有實(shí)數(shù)解,
∴方程m=e-x+f(x)在[-$\frac{1}{3}$,$\frac{1}{3}$]內(nèi)有實(shí)數(shù)解,
又∵y=e-x在[-$\frac{1}{3}$,$\frac{1}{3}$]上是減函數(shù),
∴函數(shù)y=e-x+f(x)=e-x-x+log2$\frac{1-x}{1+x}$在[-$\frac{1}{3}$,$\frac{1}{3}$]上是減函數(shù),
∴${e}^{-\frac{1}{3}}$-$\frac{1}{3}$+log2$\frac{1}{2}$≤e-x-x+log2$\frac{1-x}{1+x}$≤${e}^{\frac{1}{3}}$+$\frac{1}{3}$+log22,
∴${e}^{-\frac{1}{3}}$-$\frac{1}{3}$+log2$\frac{1}{2}$≤m≤${e}^{\frac{1}{3}}$+$\frac{1}{3}$+log22,
∴實(shí)數(shù)m的最小值是${e}^{-\frac{1}{3}}$-$\frac{1}{3}$+log2$\frac{1}{2}$=${e}^{-\frac{1}{3}}$-$\frac{4}{3}$;
故選D.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性的判斷,復(fù)合函數(shù)與函數(shù)的四則運(yùn)算的應(yīng)用,同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化法的應(yīng)用,屬于中檔題.
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A. | y=cos2x | B. | y=-cos2x | C. | y=sin(2x-$\frac{π}{4}$) | D. | y=-sin2x |
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A. | [-$\frac{1}{e}$,e) | B. | (-$\frac{1}{e}$,e) | C. | (-$\frac{1}{e}$,$\frac{1}{e}$) | D. | (0,e) |
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A. | a<1 | B. | a≤1 | C. | a≥0 | D. | a≤0 |
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