解:由(1)數(shù)列{a
n}是周期為3的數(shù)列,
得a
n+3=a
n,且
?(λ+1)(a
n+2-a
n+1)=0,即λ=-1.
(2)當(dāng)n=1時,s
1=a
1,4s
1=(a
1+1)
2?a
1=1,
當(dāng)n≥2時,4a
n=4s
n-4s
n-1=(a
n+1)
2-(a
n-1+1)
2.?(a
n-1)
2=(a
n-1+1)
2,即a
n-a
n-1=2或a
n=-a
n-1(n≥2).
①由a
n>0有a
n-a
n-1=2(n≥2),則{a
n}為等差數(shù)列,即a
n=2n-1,
由于對任意的n都有a
n+m≠a
n,所以數(shù)列{a
n}不是周期數(shù)列.
②由a
na
n+1<0有a
n=-a
n-1(n≥2),數(shù)列{a
n}為等比數(shù)列,即a
n=(-1)
n-1,
即a
n+2=a
n對任意n都成立.
即當(dāng)a
na
n+1<0時是{a
n}周期為2的周期數(shù)列.
(3)假設(shè)存在p,q.滿足題設(shè).
于是
?a
n+3=a
n,又b
n=a
n+1則b
n+3=b
n,
所以{b
n}是周期為3的周期數(shù)列,所以{b
n}的前3項分別為2,3,-2.
則s
n=
,
當(dāng)n=3k時,
=1;
當(dāng)n=3k-2時,
=1+
?1<
≤2;
當(dāng)n=3k-1時,
=1+
?1<
,
綜上1≤
≤
,
為使p
≤q恒成立,只要p≤1,q
即可.
綜上,存在p≤1,q
滿足題設(shè).
分析:(1)直接利用數(shù)列{a
n}是周期為3的周期數(shù)列以及a
n+2=λ•a
n+1-a
n可以推得(λ+1)(a
n+2-a
n+1)=0即可求常數(shù)λ的值;
(2)先利用4S
n=(a
n+1)
2求得a
n-a
n-1=2或a
n=-a
n-1(n≥2).
①由a
n>0得a
n-a
n-1=2(n≥2),求出數(shù)列{a
n}的通項公式即可判斷數(shù)列{a
n}是否為周期數(shù)列;
②由a
na
n+1<0的a
n=-a
n-1(n≥2),求出數(shù)列{a
n}的通項公式即可判斷數(shù)列{a
n}是否為周期數(shù)列;
(3)先由數(shù)列{a
n}滿足a
n+2=-a
n+1-a
n(n∈N
*),推得數(shù)列{a
n}以及數(shù)列{b
n}是周期為3的周期數(shù)列,求出數(shù)列{b
n}的前3項,即可求出數(shù)列{b
n}的前n項和S
n以及數(shù)列{b
n}的前n項和S
n的取值范圍,即可求出對應(yīng)的p、q的取值范圍.
點評:本題是在新定義下對數(shù)列知識的綜合考查,屬于數(shù)列中的難題.一般數(shù)列出大題,要么是非常容易,在第一第二大題;要么就是很難的題目.