(2012•河南模擬)給出以下四個(gè)命題:
①已知命題p:?x∈R,tanx=2;命題q:?x∈R,x2-x+1≥0,則命題p∧q是真命題;
②過(guò)點(diǎn)(-1,2)且在x軸和y軸上的截距相等的直線方程是x+y-1=0;
③函數(shù)f(x)=2x+2x-3在定義域內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn);
④若直線xsin α+ycos α+l=0和直線xcosα-
1
2
y-1=0
垂直,則角α=kπ+
π
2
或α=2kπ+
π
6
(k∈Z)

其中正確命題的序號(hào)為
①③
①③
.(把你認(rèn)為正確的命題序號(hào)都填上)
分析:由正切的定義和二次函數(shù)零點(diǎn)的結(jié)論,可得①是真命題;由直線在坐標(biāo)軸上的截距定義,可得②是假命題;根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)存在性定理,可得③是真命題;根據(jù)兩條直線垂直的充要條件,結(jié)合三角函數(shù)圖象與性質(zhì),可得④是假命題.
解答:解:對(duì)于①,根據(jù)正切的定義知命題p是真命題,
而命題q:?x∈R,x2-x+1≥0,因?yàn)椤?(-1)2-4×1×1=-3<0,
所以拋物線y=x2-x+1開口向上并且與x軸無(wú)公共點(diǎn),故p也是真命題.
因此命題p∧q是真命題,①正確;
對(duì)于②,過(guò)點(diǎn)(-1,2)且在x軸和y軸上的截距相等的直線方程除了x+y-1=0還有y=-2x,故②不正確;
對(duì)于③,f(x)=2x+2x-3在R上是增函數(shù),而且f(0)=-2<0,f(1)=1>0
所以函數(shù)f(x)=2x+2x-3在定義域內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn),故③是真命題;
對(duì)于④,直線xsin α+ycos α+l=0和直線xcosα-
1
2
y-1=0
垂直,則sinαcosα-
1
2
cosα=0,
可得sinα=
1
2
或cosα=0,所以α=2kπ+
π
6
或α=2kπ+
6
或α=kπ+
π
2

由此可得④不正確.
故答案為:①③
點(diǎn)評(píng):本題以命題真假的判斷為載體,考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性與零點(diǎn)存在性定理、兩條直線位置關(guān)系和簡(jiǎn)單的三角方程等知識(shí),屬于基礎(chǔ)題.
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3
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6
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