Question

9．拋物線C：y²=4x的準(zhǔn)線與x軸交于M，過(guò)焦點(diǎn)F作傾斜角為60°的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，則tan∠AMB=4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)AB方程y=$\sqrt{3}$（x-1），與拋物線方程y²=4x聯(lián)立，求出A，B的坐標(biāo)，利用夾角公式求出tan∠AMB．

解答 解：拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)F（1，0），M（-1，0），設(shè)AB方程y=$\sqrt{3}$（x-1），
y=$\sqrt{3}$（x-1），與y²=4x聯(lián)立可得3x²-10x+3=0
可得x=$\frac{1}{3}$或3，
∴A（$\frac{1}{3}$，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），B（3，2$\sqrt{3}$），
∴k_AM=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，k_BM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴tan∠AMB=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}}{1+\frac{\sqrt{3}}{2}•（-\frac{\sqrt{3}}{2}）}$=4$\sqrt{3}$．
故答案為：4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查差角的正切公式，正確求出A，B的坐標(biāo)是關(guān)鍵．