Question

（2011•昌平區(qū)二模）已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=

2

5

，且對任意n∈N^*，都有

an

an+1

=

4an+2

an+1+2

．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{

1

an

}為等差數(shù)列；
（Ⅱ）試問數(shù)列{a_n}中a_k-a_k+1（k∈N^*）是否仍是{a_n}中的項(xiàng)？如果是，請指出是數(shù)列的第幾項(xiàng)；如果不是，請說明理由．
（Ⅲ）令bn=

2

3

(

1

an

+5)，證明：對任意n∈N*，都有不等式2bn＞bn2成立．

Answer 1

分析：（Ⅰ）條件可變形為a_na_n+1+2a_n=4a_na_n+1+2a_n+1，整理得2a_n-2a_n+1=3a_na_n+1，兩邊同除以a_na_n+1，可得

1

an+1

-

1

an

=

3

2

，從而可得數(shù)列{

1

an

}是以

5

2

為首項(xiàng)，公差為

3

2

的等差數(shù)列．                    
（II）由（Ⅰ）可得數(shù)列{

1

an

}的通項(xiàng)公式為

1

an

=

3n+2

2

，所以an=

2

3n+2

，從而可得ak-ak+1=

2

3k+2

-

2

3(k+1)+2

=

4

9k2+21k+10

=

2

3• 3k2+7k+2 2 +2

．只需證明

3k2+7k+2

2

是正整數(shù)即可．
（Ⅲ）由（II）知：an=

2

3n+2

，bn=

2

3

(

1

an

+5)=

2

3

(

3n+2

2

+5)=n+4．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：2ⁿ⁺⁴＞（n+4）²對任意n∈N*都成立．對于當(dāng)n=k（k∈N*）時(shí)，有2^k+4＞（k+4）²，當(dāng)n=k+1時(shí)，2^（k+1）+4=2•2^k+4＞2（k+4）²=2k²+16k+32=（k+5）²+k²+6k+7＞（k+5）²，從而可證．

解答：解：（Ⅰ）∵

an

an+1

=

4an+2

an+1+2

∴a_na_n+1+2a_n=4a_na_n+1+2a_n+1，
即2a_n-2a_n+1=3a_na_n+1，
所以

1

an+1

-

1

an

=

3

2

所以數(shù)列{

1

an

}是以

5

2

為首項(xiàng)，公差為

3

2

的等差數(shù)列．                    
（II）由（Ⅰ）可得數(shù)列{

1

an

}的通項(xiàng)公式為

1

an

=

3n+2

2

，所以an=

2

3n+2

∴ak-ak+1=

2

3k+2

-

2

3(k+1)+2

=

4

9k2+21k+10

=

2

3• 3k2+7k+2 2 +2

．             
因?yàn)?span id="vbb9bnf" class="MathJye">

3k2+7k+2

2

=k2 +3k+1+

k(k+1)

2

當(dāng)k∈N^*時(shí)，

k(k+1)

2

一定是正整數(shù)，所以

3k2+7k+2

2

是正整數(shù)．
所以a_k-a_k+1是數(shù)列{a_n}中的項(xiàng)，是第

3k2+7k+2

2

項(xiàng)．                 
（Ⅲ）證明：由（II）知：an=

2

3n+2

，bn=

2

3

(

1

an

+5)=

2

3

(

3n+2

2

+5)=n+4．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：2ⁿ⁺⁴＞（n+4）²對任意n∈N*都成立．
（1）當(dāng)n=1時(shí)，顯然2⁵＞5²，不等式成立．
（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N^*）時(shí)，有2^k+4＞（k+4）²，
當(dāng)n=k+1時(shí)，2^（k+1）+4=2•2^k+4＞2（k+4）²=2k²+16k+32=（k+5）²+k²+6k+7＞（k+5）²
即有：2bn+1＞bn+12也成立．
綜合（i）（ii）知：對任意n∈N^*，都有不等式2bn＞bn2成立．

點(diǎn)評：本題以數(shù)列遞推式為載體，考查等差數(shù)列的定義，考查不等式的證明，解題的關(guān)鍵是正確利用遞推式求通項(xiàng)，掌握數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟．