【題目】已知函數f(x)=ln(2ax+1)+ ﹣x2﹣2ax(a∈R).
(1)若x=2為f(x)的極值點,求實數a的值;
(2)若y=f(x)在[3,+∞)上為增函數,求實數a的取值范圍;
(3)當a=﹣ 時,方程f(1﹣x)= 有實根,求實數b的最大值.
【答案】
(1)解: = .
因為x=2為f(x)的極值點,所以f'(2)=0.
即 ,解得a=0.
又當a=0時,f'(x)=x(x﹣2),從而x=2為f(x)的極值點成立
(2)解:因為f(x)在區(qū)間[3,+∞)上為增函數,
所以 在區(qū)間[3,+∞)上恒成立.
①當a=0時,f'(x)=x(x﹣2)≥0在[3,+∞)上恒成立,所以f(x)在[3,+∞)上為增函數,故a=0符合題意
②當a≠0時,由函數f(x)的定義域可知,必須有2ax+1>0對x≥3恒成立,故只能a>0,
所以2ax2+(1﹣4a)x﹣(4a2+2)≥0對x∈[3,+∞)上恒成立.
令g(x)=2ax2+(1﹣4a)x﹣(4a2+2),其對稱軸為 ,
因為a>0所以 ,從而g(x)≥0在[3,+∞)上恒成立,只要g(3)≥0即可,
因為g(3)=﹣4a2+6a+1≥0,
解得 .
因為a>0,所以 .
由①可得,a=0時,符合題意;
綜上所述,a的取值范圍為[0, ]
(3)解:若 時,方程 x>0 可化為, .
問題轉化為b=xlnx﹣x(1﹣x)2+x(1﹣x)=xlnx+x2﹣x3在(0,+∞)上有解,
即求函數g(x)=xlnx+x2﹣x3的值域.
以下給出兩種求函數g(x)值域的方法:
方法1:因為g(x)=x(lnx+x﹣x2),令h(x)=lnx+x﹣x2(x>0),
則 ,
所以當0<x<1,h′(x)>0,從而h(x)在(0,1)上為增函數,
當x>1,h′(x)<0,從而h(x')在(1,+∞上為減函數,
因此h(x)≤h(1)=0.
而x>1,故b=xh(x)≤0,
因此當x=1時,b取得最大值0.
方法2:因為g(x)=x(lnx+x﹣x2),所以g'(x)=lnx+1+2x﹣3x2.
設p(x)=lnx+1+2x﹣3x2,則 .
當 時,p'(x)>0,所以p(x)在 上單調遞增;
當 時,p'(x)<0,所以p(x)在 上單調遞減;
因為p(1)=0,故必有 ,又 ,
因此必存在實數 使得g'(x0)=0,
∴當0<x<x0時,g′(x)<0,所以g(x)在(0,x0)上單調遞減;
當x0<x<1,g′(x)>0,所以,g(x)在(x0,1)上單調遞增;
又因為 ,
當x→0時,lnx+ <0,則g(x)<0,又g(1)=0.
因此當x=1時,b取得最大值0
【解析】(1)先對函數求導,由x=2為f(x)的極值點,可得f'(2)=0,代入可求a(2)由題意可得 在區(qū)間[3,+∞)上恒成立,①當a=0時,容易檢驗是否符合題意,②當a≠0時,由題意可得必須有2ax+1>0對x≥3恒成立,則a>0,從而2ax2+(1﹣4a)x﹣(4a2+2)≥0對x∈[3,+∞0上恒成立.考查函數g(x)=2ax2+(1﹣4a)x﹣(4a2+2),結合二次函數的性質可求(3)由題意可得 .問題轉化為b=xlnx﹣x(1﹣x)2+x(1﹣x)=xlnx+x2﹣x3在(0,+∞)上有解,即求函數g(x)=xlnx+x2﹣x3的值域.
方法1:構造函數g(x)=x(lnx+x﹣x2),令h(x)=lnx+x﹣x2(x>0),對函數h(x)求導,利用導數判斷函數h(x)的單調性,進而可求
方法2:對函數g(x)=x(lnx+x﹣x2)求導可得g'(x)=lnx+1+2x﹣3x2 . 由導數知識研究函數p(x)=lnx+1+2x﹣3x2 , 的單調性可求函數g(x)的零點,即g'(x0)=0,從而可得函數g(x)的單調性,結合 ,可知x→0時,lnx+ <0,則g(x)<0,又g(1)=0可求b的最大值
【考點精析】通過靈活運用利用導數研究函數的單調性和函數的極值,掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系: 在某個區(qū)間內,(1)如果,那么函數在這個區(qū)間單調遞增;(2)如果,那么函數在這個區(qū)間單調遞減;極值反映的是函數在某一點附近的大小情況即可以解答此題.
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【題目】程大位是明代著名數學家,他的《新編直指算法統(tǒng)宗》是中國歷史上一部影響巨大的著作,它問世后不久便風行宇內,成為明清之際研習數學者必讀的教材,而且傳到朝鮮、日本及東南亞地區(qū),對推動漢字文化圈的數學發(fā)展起了重要的作用.卷八中第33問是:“今有三角果一垛,底闊每面七個,問該若干?”如圖是解決該問題的程序框圖,執(zhí)行該程序框圖,求得該垛果子的總數為( )
A. 120 B. 84 C. 56 D. 28
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【題目】將函數f(x)= sin(2x﹣ )+1的圖象向左平移 個單位長度,再向下平移1個單位長度,得到函數g(x)的圖象,則函數g(x)具有性質 . (填入所有正確性質的序號)
①最大值為 ,圖象關于直線x= 對稱;
②在(﹣ ,0)上單調遞增,且為偶函數;
③最小正周期為π.
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【題目】定義在上的函數,如果滿足:對任意,存在常數,都有成立,則稱是上的有界函數,其中稱為函數的上界,已知函數.
(Ⅰ)若是奇函數,求的值.
(Ⅱ)當時,求函數在上的值域,判斷函數在上是否為有界函數,并說明理由.
(Ⅲ)若函數在上是以為上界的函數,求實數的取值范圍.
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【題目】已知函數f(x)=|x﹣a|,不等式f(x)≤3的解集為[﹣1,5].
(Ⅰ)求實數a的值;
(Ⅱ)若f(x)+f(x+5)≥m對一切實數x恒成立,求實數m的取值范圍.
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【題目】在直角坐標系中,已知圓圓心為,過點且斜率為的直線與圓相交于不同的兩點、.
()求的取值范圍;
()是否存在常數,使得向量與共線?如果存在,求值;如果不存在,請說明理由.
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【題目】父親節(jié)小明給爸爸從網上購買了一雙運動鞋,就在父親節(jié)的當天,快遞公司給小明打電話話說鞋子已經到達快遞公司了,馬上可以送到小明家,到達時間為晚上6點到7點之間,小明的爸爸晚上5點下班之后需要坐公共汽車回家,到家的時間在晚上5點半到6點半之間。求小明的爸爸到家之后就能收到鞋子的概率(快遞員把鞋子送到小明家的時候,會把鞋子放在小明家門口的“豐巢”中)為 __________.
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