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10.已知函數(shù)f(x)=mxlnx+me+1(m≠0),g(x)=x2eax(a∈R)
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)m>0時(shí),若對任意的x1,x2∈(0,2],f(x1)>g(x2)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析 (1)求出f(x)的導(dǎo)數(shù),討論m>0,m<0,由導(dǎo)數(shù)大于0可得增區(qū)間,由導(dǎo)數(shù)小于0,得減區(qū)間;
(2)“對任意的x1,x2∈[0,2],f(x1)≥g(x2)恒成立”等價(jià)于“當(dāng)m>0時(shí),對任意的x1,x2∈[0,2],fmin(x)≥gmax(x)成立”,求得f(x)在[0,2]上的最小值,再求g(x)的導(dǎo)數(shù),對a討論,結(jié)合單調(diào)性,求得最大值,解不等式即可得到.

解答 解:(1)f(x)=mxlnx+me+1,(x>0),
f′(x)=m(lnx+1),
m>0時(shí),令f′(x)>0,解得:x>1e,
令f′(x)<0,解得:0<x<1e
故f(x)在(0,1e)遞減,在(1e,+∞)遞增,
m<0時(shí),f(x)在(0,1e)遞增,在(1e,+∞)遞減;
(2)m>0時(shí),由(1)得:
f(x)在(0,1e)遞減,在(1e,2]遞增,
f(x)min=f(1e)=1,
g(x)的導(dǎo)數(shù)g′(x)=2xeax+x2eax•a=(ax2+2x)eax,
當(dāng)a=0時(shí),g(x)=x2,x∈[0,2]時(shí),gmax(x)=g(2)=4,顯然不滿足gmax(x)≤1,
當(dāng)a≠0時(shí),令g′(x)=0得,x1=0,x2=-2a
①當(dāng)-2a≥2,即-1≤a≤0時(shí),在[0,2]上g′(x)≥0,所以g(x)在[0,2]單調(diào)遞增,
所以gmax(x)=g(2)=4e2a,只需4e2a≤1,得a≤-ln2,所以-1≤a≤-ln2;
②當(dāng)0<-2a<2,即a<-1時(shí),在[0,-2a],g′(x)≥0,g(x)單調(diào)遞增,
在[-2a,2],g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,所以gmax(x)=g(-2a)=4ae2
只需 4ae2≤1,得a≤-2e,所以a<-1;
③當(dāng)-2a<0,即a>0時(shí),顯然在[0,2]上g′(x)≥0,g(x)單調(diào)遞增,
gmax(x)=g(2)=4e2a,4e2a≤1不成立.
綜上所述,a的取值范圍是(-∞,-ln2].

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用:求切線方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值,主要考查不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值,運(yùn)用分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵.

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