Question

A是直二面角α-l-β的棱l上的一點，兩條長為a的線段AB、AC分別在α、β內，且分別與l成45°角，則BC的長為（　　）

• A、a
• B、a或

  2

  a
• C、

  2

  a
• D、a或

  10

  2

  a

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,二面角的平面角及求法

專題：空間位置關系與距離

分析：在一個直二面角內，由棱l上取一點A，過 A分別在 α、β 兩個平面內作與棱成 45°的斜線AC、AB有兩種作法，即當AC與AB同向和異向兩種情況，在兩條斜線上分別取點C和點B，借助于二面角是直二面角，構造直角三角形找邊的關系，把要求解的角也放在一個三角形中，然后利用解三角形求解CD的大小．

解答： 解：如圖，
當兩斜線AC，AB同向時，在AC上取點C，過C作CG⊥l于G，
在平面β內過G作GB⊥l，交AB于B，連結CD．
∵二面角α-AB-β為直二面角，∴CG⊥β，則CG⊥GD．
在Rt△CGP中，∵∠CAG=45°，AB=AC=a，則AG=CG=

2

2

a．
在Rt△DGP中，∵∠BAG=45°，∴AB=AC=a，則DG=

2

2

a．
在Rt△DGC中，∵CG=DG=

2

2

a，∴CD=a．
如圖：
當兩斜線AC，AB異向時，在AC上取點C，過C作CG⊥l于G，
在AB上取點B，使AB=AC=a，連結CD，
∵二面角α-AB-β為直二面角，∴CG⊥β，則CG⊥GD．
在Rt△CGA中，∵∠CAG=45°，∴AG=CG=

2

2

a，
AB=a，AG=

2

2

a，∠BAG=135°．
在△DPG中，GD²=AG²+AB²-2AG•ABcos135°
=a²+

1

2

a²-2•a•

2

2

a•（-

2

2

）=2a²．
∴CD²=CG²+GD²=

1

2

a²+2a²=

5

2

a²．
CD=

10

2

a
故選：D．

點評：本題考查了空間兩條直線所成的角，考查了學生的空間想象能力和思維能力，考查了分類討論的數學思想方法，是中檔題．