Question

已知函數f（x）=

1

2

+ln

x

1-x

．
（1）求證：存在定點M，使得函數f（x）圖象上任意一點P關于M點對稱的點Q也在函數f（x）的圖象上，并求出點M的坐標；
（2）根據（1）的對稱性質，定義S_n=

n-1

i=1

f(

i

n

)=f（

1

n

）+f（

2

n

）+…+f（

n-1

n

），其中n∈N^*且n≥2，求S₂₀₁₁．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據題中已知條件可知函數f（x）上的點P和點Q關于點M對稱，可根據f（x）+f（2a-x）=2b可以求出a和b的值，進而可以證明．
（Ⅱ）根據題中已知條件先求出S_n的表達式，進而將n=2011代入即可求出S₂₀₁₁的值．

解答：解：：（Ⅰ）由題意可知：函數定義域為（0，1）． 設點M的坐標為（a，b），
則由f（x）+f（2a-x）=

1

2

+ln

x

1-x

+

1

2

+ln

2a-x

1-2a+x

=1+ln

2ax-x2

-x2+2ax+1-2a

=2b，
對于x∈（0，1）恒成立，于是

1-2a=0 1=2b

，解得a=b=

1

2

．
所以存在定點M（

1

2

，

1

2

），使得函數f（x）的圖象上任意一點P關于M點對稱的點Q也在函數f（x）的圖象上．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）+f（1-x）=1，
∵Sn=f（

1

n

）+f（

2

n

）+…+f（

n-2

n

）+f（

n-1

n

）…①
∴Sn=f（1-

1

n

）+f（1-

2

n

）+…+f（

2

n

）+f（

1

n

）…②
①+②，得2S_n=n-1，∴Sn=

n-1

2

（n≥2，n∈N*），
故S₂₀₁₁=1005．

點評：本題主要考查了數列的遞推公式以及數列與函數的綜合應用，考查了學生的計算能力和對數列的綜合掌握，解題時注意整體思想和轉化思想的運用，屬于中檔題．