Question

4．如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上的點，AD是∠BAC的平分線，過點D作DE⊥AC，交AC的延長線于點E．
（1）求證：DE²=EC•EA；
（2）過D點作DF⊥AB，垂足為F，求證：$\frac{AF}{AE}$=$\frac{CE}{FB}$．

Answer 1

分析 （1）根據切線定理和割線定理證明即可；（2）證出DE=DF，結合（1），從而證出結論．

解答 解：（1）連接OD，∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD．
∵AD是∠BAC的平分線，∴∠DAC=∠OAD，
∴∠ODA=∠DAC，∴OD∥AE．
∵AE⊥ED，∴OD⊥ED，
∴ED是圓O的切線，
由切割線定理得DE²=EC•EA．

（2）∵AD平分∠EAB，DF⊥AB，DE⊥AE，
∴DE=DF．
由（1）知DE²=EC•EA，
又△ADB為直角三角形，且DF⊥AB，
∴DF²=AF•FB，
∴AF•FB=EC•EA，
即$\frac{AF}{AE}=\frac{CE}{FB}$．

點評 本題考查了切割線定理，考查圓的有關性質，是一道中檔題．