Question

10．設(shè)x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x≤3}\\{x+y≥0}\\{x-y+6≥0}\end{array}\right.$，若z=ax+y的最大值為3a+9，最小值為3a-3，則a的取值范圍是（　　）

• A． a≤-1
• B． a≥1
• C． -1≤a≤1
• D． a≥1或a≤-1

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，對(duì)a分類討論得到最優(yōu)解，求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)，求出滿足最大值為3a+9，最小值為3a-3的a的取值范圍．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x≤3}\\{x+y≥0}\\{x-y+6≥0}\end{array}\right.$作出可行域如圖，

聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{x+y=0}\end{array}\right.$，解得A（3，-3），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{x-y+6=0}\end{array}\right.$，解得B（3，9），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+y=0}\\{x-y+6=0}\end{array}\right.$，解得C（-3，3）．
化目標(biāo)函數(shù)z=ax+y為y=-ax+z，
由圖可知，當(dāng)-1≤-a≤1，即-1≤a≤1時(shí)，直線y=-ax+z過(guò)A點(diǎn)直線在y軸上的截距最小，z有最小值為3a-3；
直線y=-ax+z過(guò)B點(diǎn)直線在y軸上的截距最大，z有最大值為3a+9．
當(dāng)a＞1時(shí)，直線y=-ax+z過(guò)C點(diǎn)直線在y軸上的截距最大，z有最大值為-3a+3，不合題意，
當(dāng)a＜-1時(shí)，直線y=-ax+z過(guò)C點(diǎn)直線在y軸上的截距最小，z有最小值為-3a+3，不合題意．
綜上，a的取值范圍是-1≤a≤1．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．