Question

為提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，某地區(qū)舉辦了小學(xué)生“數(shù)獨(dú)比賽”．比賽成績(jī)共有90分，70分，60分，40分，30分五種，按本次比賽成績(jī)共分五個(gè)等級(jí)．從參加比賽的學(xué)生中隨機(jī)抽取了30名學(xué)生，并把他們的比賽成績(jī)按這五個(gè)等級(jí)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到如下數(shù)據(jù)表：

成績(jī)等級(jí)	A	B	C	D	E
成績(jī)（分）	90	70	60	40	30
人數(shù)（名）	4	6	10	7	3

（Ⅰ）根據(jù)上面的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，試估計(jì)從本地區(qū)參加“數(shù)獨(dú)比賽”的小學(xué)生中任意抽取一人，其成績(jī)等級(jí)為“A 或B”的概率；
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)論，若從該地區(qū)參加“數(shù)獨(dú)比賽”的小學(xué)生（參賽人數(shù)很多）中任選3人，記X表示抽到成績(jī)等級(jí)為“A或B”的學(xué)生人數(shù)，求X的分布列及其數(shù)學(xué)期望EX；
（Ⅲ）從這30名學(xué)生中，隨機(jī)選取2人，求“這兩個(gè)人的成績(jī)之差大于20分”的概率．

Answer 1

（I）根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知，從本地區(qū)參加“數(shù)獨(dú)比賽”的30名小學(xué)生中任意抽取一人，其成績(jī)等級(jí)為“A 或B”的概率為

4

30

+

6

30

=

1

3

，
即從本地區(qū)參加“數(shù)獨(dú)比賽”的小學(xué)生中任意抽取一人，其成績(jī)等級(jí)為“A 或B”的概率為

1

3

．
（II）由題意知隨機(jī)變量X可取0，1，2，3，
∴P（X=0）=C

03

（

1

3

）⁰（

2

3

）³=

8

27

；P（X=1）=C

13

（

1

3

）¹（

2

3

）²=

4

9

；
P（X=2）=C

23

（

1

3

）²（

2

3

）=

2

9

；
P（X=3）=C

33

（

1

3

）³（

2

3

）⁰=

1

27

；
所以X的分布列為（必須寫(xiě)出分布列，否則扣1分）

X	0	1	2	3
P	8 27	4 9	2 9	1 27

…（11分）
故Eξ=0×

8

27

+1×

4

9

+2×

2

9

+3×

1

27

=1，所求期望值為1．
（III）設(shè)事件M：從這30名學(xué)生中，隨機(jī)選取2人，這兩個(gè)人的成績(jī)之差大于20分．
設(shè)從這30名學(xué)生中，隨機(jī)選取2人，記兩個(gè)人的成績(jī)分別為m，n．
則基本事件的總數(shù)為

C

230

，
不妨設(shè)m＞n，
當(dāng)m=90時(shí)，n=60或40或30，基本事件的數(shù)為C

14

（C

110

+C

17

+C

13

）；
當(dāng)m=70時(shí)，n=40或30，基本事件的數(shù)為C

16

（C

17

+C

13

）；
當(dāng)m=60時(shí)，n=30，基本事件的數(shù)為C

110

C

13

；
∴P（M）=

C 14 ( C 110 + C 17 + C 13 )+ C 16 ( C 17 + C 13 )+ C 110 C 13

C 230

=

34

87

．
∴從這30名學(xué)生中，隨機(jī)選取2人，“這兩個(gè)人的成績(jī)之差大于20分”的概率為

34

87

．