Question

19．某校高一（1）班的課外生物研究小組通過互聯(lián)網(wǎng)上獲知，某種珍稀植物的種子在一定條件下發(fā)芽成功率為$\frac{1}{3}$，小組依據(jù)網(wǎng)上介紹的方法分小組進(jìn)行驗證性實驗（每次實驗相互獨立）．
（1）第一小組共做了5次種子發(fā)芽實驗（每次均種下一粒種子），求5次實驗至少有3次成功的概率；
（2）第二小組在老師的帶領(lǐng)下做了若干次實驗（每次均種下一粒種子），如果在一次實驗中，種子發(fā)芽成功則停止實驗；否則將繼續(xù)進(jìn)行下去，直到種子發(fā)芽成功為止，而該小組能供實驗的種子只有n顆（n≥5，n∈N^*）．求第二小組所做的實驗次數(shù)ξ的概率分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）由題設(shè)可知這5次實驗即為5次獨立重復(fù)實驗，由此能求出至少3次成功的概率．
（2）ξ的可能取值為1，2，3，…，n，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）由題設(shè)可知這5次實驗即為5次獨立重復(fù)實驗，
則至少3次成功的概率$P=C_5^3{（\frac{1}{3}）^3}{（1-\frac{1}{3}）^2}+C_5^4{（\frac{1}{3}）^4}（1-\frac{1}{3}）+C_5^5{（\frac{1}{3}）^5}=\frac{17}{81}$…（4分）
（2）ξ的可能取值為1，2，3，…，n，
P（ξ=1）=$\frac{1}{3}$，
P（ξ=2）=$\frac{2}{3}×\frac{1}{3}$=$\frac{2}{9}$，
P（ξ=3）=$（\frac{2}{3}）^{2}×\frac{1}{3}$=$\frac{4}{27}$，
P（ξ=4）=（$\frac{2}{3}$）³×$\frac{1}{3}$=$\frac{8}{81}$，
…
P（ξ=n-1）=（$\frac{2}{3}$）^n-2×$\frac{1}{3}$，
P（ξ=n）=（$\frac{2}{3}$）^n-1．
∴ξ的分布列為：

ξ	1	2	3	4	…	n-1	n
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{4}{27}$	$\frac{8}{81}$	…	（$\frac{2}{3}$）n-2×$\frac{1}{3}$	（$\frac{2}{3}$）n-1

∴$Eξ=1×\frac{1}{3}+2×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}+3×{（\frac{2}{3}）^2}×\frac{1}{3}+…+（n-1）•{（\frac{2}{3}）^{n-2}}•\frac{1}{3}+n•{（\frac{2}{3}）^{n-1}}$
=$\frac{1}{3}[1+2×\frac{2}{3}+3×{（\frac{2}{3}）^2}+…+（n-1）•{（\frac{2}{3}）^{n-2}}]+n•{（\frac{2}{3}）^{n-1}}$
令${S_n}=1+2×\frac{2}{3}+3×{（\frac{2}{3}）^2}×\frac{1}{3}+…+（n-1）•{（\frac{2}{3}）^{n-2}}$
則$\frac{2}{3}{S_n}=1×\frac{2}{3}+2×{（\frac{2}{3}）^2}+…+（n-2）•{（\frac{2}{3}）^{n-2}}+（n-1）•{（\frac{2}{3}）^{n-1}}$，
兩式相減得$\frac{1}{3}{S_n}=1+\frac{2}{3}+{（\frac{2}{3}）^2}+…+{（\frac{2}{3}）^{n-2}}-（n-1）•{（\frac{2}{3}）^{n-1}}$
=$\frac{{1-{{（\frac{2}{3}）}^{n-1}}}}{{1-\frac{2}{3}}}-（n-1）•{（\frac{2}{3}）^{n-1}}=3-（n+2）•{（\frac{2}{3}）^{n-1}}$，
所以${S_n}=9-3（n+2）•{（\frac{2}{3}）^{n-1}}$，
故$Eξ=\frac{1}{3}{S_n}+n•{（\frac{2}{3}）^{n-1}}=3-（n+2）•{（\frac{2}{3}）^{n-1}}+n•{（\frac{2}{3}）^{n-1}}=3-2{（\frac{2}{3}）^{n-1}}$．…（12分）

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型之一．