精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學 > 題目詳情

設F₁，F(xiàn)₂為橢圓x²+4y²=4m（m＞0）的兩個焦點，點P在橢圓上，且滿足 $數(shù)學公式$ 則m的值為________．

1
分析：將橢圓x²+4y²=4m化成標準方程，并結(jié)合橢圓定義，得| $\text{[math]}$ |+| $\text{[math]}$ |=4 $\text{[math]}$ ，由已知 $\text{[math]}$ 化簡整理，即可得到| $\text{[math]}$ |²+| $\text{[math]}$ |²=16m-4．再根據(jù) $\text{[math]}$ ，得△PF₁F₂是以F₁F₂為斜邊的直角三角形，利用勾股定理列式得| $\text{[math]}$ |²+| $\text{[math]}$ |²=12m，將得到的式子進行對照，即可解出m的值．
解答：橢圓x²+4y²=4m化成標準方程，得 $\text{[math]}$
∴a²=4m，b²=m，得a=2 $\text{[math]}$ ，b= $\text{[math]}$
∵點P在橢圓上，∴ $\text{[math]}$ …①
①式平方，得| $\text{[math]}$ |²+| $\text{[math]}$ |²+2 $\text{[math]}$ =16m
∵ $\text{[math]}$ ，∴| $\text{[math]}$ |²+| $\text{[math]}$ |²=16m-4…②
∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，得△PF₁F₂是以F₁F₂為斜邊的直角三角形
∴| $\text{[math]}$ |²+| $\text{[math]}$ |²=| $\text{[math]}$ |²=4c²=4a²-4b²=12m…③
．比較②③，可得16m-4=12m，解之得m=1
故答案為：1
點評：本題給出含有字母參數(shù)的橢圓方程，在焦點三角形是直角三角形且已知兩條直角邊之積的情況下，求參數(shù)的值，著重考查了橢圓的定義與標準方程、橢圓的簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．

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