Question

已知函數(shù)．
（1）若，求曲線在點處的切線方程；
（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）設函數(shù)．若至少存在一個，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）時，在上單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；時， 在上單調(diào)遞增；（3）實數(shù)的取值范圍為.

解析試題分析：（1）當時，先確定，接著求出，進而求出，最后由直線的點斜式即可寫出所求的切線方程；（2）先確定函數(shù)的定義域，設，接著針對這個二次函數(shù)開口方向及與軸正半軸有多少個交點的問題分、、三類進行討論，進而確定各種情況下的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，最后將各個情況綜合描述即可；（3）法一：先將至少存在一個，使得成立的問題等價轉(zhuǎn)化為：令，等價于“當 時，”，進而求取即可解決本小問；法二：設，定義域為，進而將問題轉(zhuǎn)化為等價于當 時，，從中對參數(shù)分、、、，進行求解即可.
函數(shù)的定義域為，   1分
（1）當時，函數(shù)，，
所以曲線在點處的切線方程為
即         4分
（2）函數(shù)的定義域為
1.當時，在上恒成立
則在上恒成立，此時在上單調(diào)遞減     5分
2.當時，
（ⅰ）若
由，即，得或      6分
由，即，得         7分
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為  9分
（ⅱ）若，在上恒成立，則在上恒成立，此時 在上單調(diào)遞增                        10分
綜上可知：時，在上單調(diào)遞減；當