Question

如圖所示，O點(diǎn)在△ABC內(nèi)部，D、E分別是AC，BC邊的中點(diǎn)，且有

OA

+2

OB

+3

OC

=

0

，則△AEC的面積與△AOC的面積的比為

3

2

．

Answer 1

分析：將題中的向量等式整理得

OA

+

OC

=-2(

OB

+

OC

)，再利用三角形的中線的性質(zhì)，化簡(jiǎn)得

OD

=-2

OE

，即得O點(diǎn)是DE的一個(gè)三等分點(diǎn)，從而得到點(diǎn)O到AC的距離等于E到AC的距離的

2

3

，由此利用三角形的面積公式加以計(jì)算，可得所求的三角形面積之比．

解答：解：∵

OA

+2

OB

+3

OC

=

0

，∴整理得：

OA

+

OC

=-2(

OB

+

OC

)．…（*）
又∵D、E分別是AC，BC邊的中點(diǎn)，
∴

OA

+

OC

=2

OD

，

OB

+

OC

=2

OE

，
代入（*）式，可得

OD

=-2

OE

，即O點(diǎn)是DE靠近E的一個(gè)三等分點(diǎn)．
因此，點(diǎn)O到AC的距離等于E到AC的距離的

2

3

，
∵△AEC與△AOC中，邊AC是公共的底邊，
∴△AOC的面積與△AEC的面積的比等于點(diǎn)O到AC的距離與點(diǎn)E到AC的距離之比，
可得S_△AOC=

2

3

S_△AEC，即得S_△AEC=

3

2

S_△AOC．
即△AEC的面積與△AOC的面積的比為

3

2

．
故答案為：

3

2

點(diǎn)評(píng)：本題給出△ABC中的向量等式，求三角形的面積之比．著重考查了向量的加法法則、三角形的中線的性質(zhì)和三角形面積公式等知識(shí)，屬于中檔題．