【題目】已知函數(shù)．

（1）若，求曲線在點處的切線方程；

（2）求證：函數(shù)有且只有一個零點．

【答案】（1）；（2）詳見解析．

【解析】

（1）對函數(shù)進行求導，求出切線的斜率和切點坐標，即可得答案；

（2）函數(shù)的定義域為，要使函數(shù)有且只有一個零點，只需方程有且只有一個根，即只需關于x的方程在上有且只有一個解，利用導數(shù)可得函數(shù)在單調遞增，再利用零點存在定理，即可得答案；

（1）當時，函數(shù)，，，

，，

所以函數(shù)在點處的切線方程是．

（2）函數(shù)的定義域為，

要使函數(shù)有且只有一個零點，只需方程有且只有一個根，

即只需關于x的方程在上有且只有一個解．

設函數(shù)，

則，

令，

則/span>，

由，得．

x

單調遞減

極小值

單調遞增

由于，

所以，

所以在上單調遞增，

又，，

①當時， ，函數(shù)在有且只有一個零點，

②當時，由于，所以存在唯一零點．

綜上所述，對任意的函數(shù)有且只有一個零點．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，三棱柱中，分別為棱的中點.

（1）在上確定點M，使平面，并說明理由。

（2）若側面側面，求直線與平面所成角的正弦值。

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【題目】金秋九月，丹桂飄香，某高校迎來了一大批優(yōu)秀的學生，新生接待其實也是和社會溝通的一個平臺．校團委、學生會從在校學生中隨機抽取了160名學生，對是否愿意投入到新生接待工作進行了問卷調查，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：

愿意

不愿意

男生

60

20

女生

40

40

（1）通過估算，試判斷男、女哪種性別的學生愿意投入到新生接待工作的概率更大．

（2）能否有99%的把握認為，愿意參加新生接待工作與性別有關？

附：，其中．

0.05

0.01

0.001

3.841

6.635

10.828

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，橢圓的左、右頂點分別為，，上、下頂點分別為，，且，為等邊三角形，過點的直線與橢圓在軸右側的部分交于、兩點．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）求四邊形面積的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，，，底面ABCD是邊長為2的菱形，點E，F分別為棱DC，BC的中點，點G是棱SC靠近點C的四等分點.

求證：（1）直線平面EFG；

（2）直線平面SDB.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓：的離心率，左、右焦點分別為、，拋物線的焦點恰好是該橢圓的一個頂點.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知直線：與圓：相切，且直線與橢圓相交于、兩點，求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知拋物線的焦點為.

若點為拋物線上異于原點的任一點，過點作拋物線的切線交軸于點，證明：.

，是拋物線上兩點，線段的垂直平分線交軸于點 (不與軸平行)，且.過軸上一點作直線軸，且被以為直徑的圓截得的弦長為定值，求面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知復數(shù)滿足，的虛部為2，

（1）求復數(shù)；

（2）設在復平面上對應點分別為，求的面積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在四棱錐的底面中，∥，，平面，是的中點，且

（1）求證：∥平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）在線段內是否存在點，使得？若存在指出點的位置，若不存在，請說明理由．

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