Question

己知拋物線y=x²+m的頂點M到直線l：

x=t y=1+ 3 t

（t為參數(shù)）的距離為1
（Ⅰ）求m：
（Ⅱ）若直線l與拋物線相交于A，B兩點，與y軸交于N點，求|S_△MAN-S_△MBN|的值．

Answer 1

考點：參數(shù)方程化成普通方程,直線與圓錐曲線的關系

專題：坐標系和參數(shù)方程

分析：（1）利用點到直線的距離公式即可得出；
（2）當m=3時，直線與拋物線不相交，舍去．當m=-1時，拋物線的方程為y=x²-1．
將直線l的一個標準參數(shù)方程

x= 1 2 t y=1+ 3 2 t

代入拋物線方程，利用根與系數(shù)的關系及其參數(shù)的意義即可得出．

解答： 解：（1）拋物線y=x²+m的頂點M（0，m），
由直線l：

x=t y=1+ 3 t

（t為參數(shù)），
消去參數(shù)t得到的直線l的一般方程

3

x-y+1=0．
則M到直線l的距離為

|0-m+1|

( 3 )2+(-1)2

=1，
解得m=-1，或3．
（2）當m=3時，直線與拋物線不相交，舍去．
當m=-1時，拋物線的方程為y=x²-1．
將直線l的一個標準參數(shù)方程

x= 1 2 t y=1+ 3 2 t

代入拋物線方程可得：t2-2

3

t-8=0．
∴t1+t2=2

3

，t₁t₂=-8．
∴|S_△MAN-S_△MBN|=

1

2

|t1+t2|=

3

．

點評：本題考查了直線的參數(shù)方程及其應用、直線與拋物線相交問題轉化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關系、三角形的面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．