Question

2．已知線段PQ的端點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-2，3），端點(diǎn)P在圓C：（x-8）²+（y-1）²=4上運(yùn)動(dòng)．
（Ⅰ）求線段PQ中點(diǎn)M的軌跡E的方程；
（Ⅱ）若一光線從點(diǎn)Q射出，經(jīng)x軸反射后，與軌跡E相切，求反射光線所在的直線方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)M（x，y），P（x₀，y₀），利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，轉(zhuǎn)化為P的坐標(biāo)，代入圓的方程求解即可．
（Ⅱ）設(shè)Q（-2，3）關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)Q'（-2，-3）設(shè)過(guò)Q'（-2，-3）的直線?：y+3=k（x+2），利用點(diǎn)到直線的距離公式化簡(jiǎn)求解即可．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)M（x，y），P（x₀，y₀），$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{{{x_0}-2}}{2}=x}\\{\frac{{{y_0}+3}}{2}=y}\end{array}⇒\left\{{\begin{array}{l}{{x_0}=2x+2}\\{{y_0}=2y-3}\end{array}}\right.}\right.$
則代入${（{x_0}-8）^2}+{（{y_0}-1）^2}=4$
軌跡E的方程為（x-3）²+（y-2）²=1；
（Ⅱ）設(shè)Q（-2，3）關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)Q'（-2，-3）
設(shè)過(guò)Q'（-2，-3）的直線?：y+3=k（x+2），即kx-y+2k-3=0
∵$d=\frac{{|{3k-2+2k-3}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=1$，
（5k-5）²=k²+125（k²-2k+1）=k²+124k²-50k+24=0，
（3k-4）（4k-3）=0，
∴$k=\frac{4}{3}$或$k=\frac{3}{4}$，
∴反射光線所在$?：y+3=\frac{4}{3}（x+2）$，
即4x-3y-1=0$y+3=\frac{3}{4}（x+2）$，
即3x-4y-6=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程的求法，代入法的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．