Question

若A_n和B_n分別表示數(shù)列{a_n}和{b_n}的前n項(xiàng)和，對(duì)任何正整數(shù)n，a_n=-，4B_n-12A_n=13n.

(1)求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)有拋物線列C₁，C₂，…，C_n，…,拋物線C_n(n∈N^*)的對(duì)稱軸平行于y軸，頂點(diǎn)為(a_n,b_n)，且通過(guò)點(diǎn)D_n(0，n²+1),過(guò)點(diǎn)D_n且與拋物線C_n相切的直線的斜率為k_n，求極限.

(3)設(shè)集合X={x|x=2a_n,n∈N^*},Y={y|y=4b_n,n∈N^*}，若等差數(shù)列{C_n}的任一項(xiàng)C_n∈X∩Y,C₁是X∩Y中的最大數(shù)，且-265＜C₁₀＜-125，求{C_n}的通項(xiàng)公式.

Answer 1

解析:(1)a₁=-,A_n=.??

∵4B_n=13n+12A_n=13n-6(n+4)n,?

∴B_n=-,b₁=-,?

B_n==-(6n²+11n).??

∴b_n=-.?

(2)設(shè)拋物線y=a(x+a_n)²+b_n,?

n²+1=a(n+)²-,

n²+1=an²+1,∴a=1.?

∴y=(x+n+)²-?

=x²+(2n+3)x+(n+)²-.?

y′=2x+2n+3.?

∴D_n在拋物線上，且l為拋物線在D_n點(diǎn)的切線.?

拋物線在D_n處的導(dǎo)數(shù)為y′=2n+3.?

??

=

=?

=.?

(3)x=-2n-3,y=-12n-5.x=-2(n-1)-5,∴y≤x,X∩Y=Y.?

C_n∈{x|x=-12n-5,n∈N^*}.?

∴當(dāng)n=1時(shí),C_max=-17,C₁=-17,?

C₁₀=-17+9d,-265＜-17+9d＜-125,?

-27.3＜d＜-12,d=-27,-26,…,-11.?

僅當(dāng)d=-24時(shí)，C₁₀=-17-9×24=233∈{x|x=-12n-5,n∈N^*}.?

C_n=-17-24(n-1)=-24n+7.