Question

2．已知函數(shù)f（x）=x²-2|x|
（1）判斷并證明函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）判斷函數(shù)f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性，并解不等式$f（|a|+\frac{3}{2}）＞0$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義證明函數(shù)的奇偶性即可；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的單調(diào)性，得到關(guān)于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，
函數(shù)f（x）的定義域為R，
且f（-x）=（-x）²-2|-x|=x²-2|x|=f（x），
所以函數(shù)f（x）是偶函數(shù)．
（2）當x∈（1，+∞）時，f（x）=x²-2x，
所以函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，
$|a|+\frac{3}{2}＞1$，f（2）=0，由$f（|a|+\frac{3}{2}）＞f（2）$，
且函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，
知$|a|+\frac{3}{2}＞2$，$|a|＞\frac{1}{2}$，所以$a＞\frac{1}{2}$或$a＜-\frac{1}{2}$，
即不等式$f（|a|+\frac{3}{2}）＞0$的解集是$\{a|a＞\frac{1}{2}$或$a＜-\frac{1}{2}\}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性問題，考查解不等式問題，是一道中檔題．