Question

7．已知拋物線y²=8x的準線與雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{16}$=1相交于A，B兩點，如果拋物線的焦點F總在以AB為直徑的圓的內部，則雙曲線的離心率取值范圍是（　�。�

• A． （3，+∞）
• B． （1，3）
• C． （2，+∞）
• D． （1，$\sqrt{3}$）

Answer 1

分析 先根據拋物線方程求得準線方程，代入雙曲線方程求得y，根據拋物線的焦點F總在以AB為直徑的圓的內部得到$\frac{4}{a}$$\sqrt{4-{a}^{2}}$＞4，求出a的范圍，利用a，b和c的關系求得c，則雙曲線的離心率范圍可得．

解答 解：拋物線y²=8x，則其準線方程為x=-2，焦點f（2，0），
∴焦點到準線的距離為p=4，
將準線方程為x=-2代入雙曲線方程得y=±$\frac{4}{a}$$\sqrt{4-{a}^{2}}$，
∴以AB為直徑的圓的半徑為r=$\frac{4}{a}$$\sqrt{4-{a}^{2}}$，
∵拋物線的焦點F總在以AB為直徑的圓的內部，
∴$\frac{4}{a}$$\sqrt{4-{a}^{2}}$＞4，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4-{a}^{2}≥0}\\{4-{a}^{2}＞{a}^{2}}\end{array}\right.$，
解得0＜a＜$\sqrt{2}$
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{16+{a}^{2}}}{a}$=$\sqrt{\frac{16}{{a}^{2}}+1}$＞$\sqrt{\frac{16}{2}+1}$=3，
∴e＞3，
故選：A．

點評 本題主要考查了拋物線和雙曲線的簡單性質．解題的關鍵是通過其性質求出a的范圍，屬于中檔題．