Question

如圖，所有棱長(zhǎng)都為2的正三棱柱BCD-B′C′D′，四邊形ABCD是菱形，其中E為BD的中點(diǎn)
（Ⅰ）求證：平面BC′D∥面AB′D′；
（Ⅱ）求面AB′D′與面ABD所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,平面與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）取B′D′的中點(diǎn)為F，連AF，C′F，由已知得AFC′E為平行四邊形，由此能證明平面BC′D∥面AB′D′．
（Ⅱ）連結(jié)EF，由已知得面AB′D′與面ABD所成銳二面角為∠EAF，由此能求出面AB′D′與面ABD所成銳二面角的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：如圖取B′D′的中點(diǎn)為F，連AF，C′F，
∵正三棱柱BCD-B′C′D′，四邊形ABCD是菱形，
∴B′D′∥BD，C′F

∥

.

AE，∴AFC′E為平行四邊形．
∴AF∥C′E，又BD∩C′E=E，
∴平面BC′D∥面AB′D′．
（Ⅱ）解：連結(jié)EF，由已知得EF⊥平面ABD，
∴面AB′D′與面ABD所成銳二面角為∠EAF，
∵所有棱長(zhǎng)都為2的正三棱柱BCD-B′C′D′，
四邊形ABCD是菱形，
∴EF=2，AE=

4-1

=

3

，AF=

4+3

=

7

，
∴cos∠EAF=

AE

AF

=

3

7

=

21

7

，
∴面AB′D′與面ABD所成銳二面角的余弦值為

21

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與平面之間的平行、垂直等位置關(guān)系，線線角、線面角、二面角的概念、求法等知識(shí)，以及空間想象能力和邏輯推理能力．