如圖,平面上定點F到定直線l的距離|FM|=2,P為該平面上的動點,過P作直線l的垂線,垂足為Q,且
(1)試建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担髣狱cP的軌跡C的方程;
(2)過點F的直線交軌跡C于A、B兩點,交直線l于點N,已知為定值.

【答案】分析:(1)方法一:先建坐標系,求出對應點的坐標直接利用向量的數(shù)量積計算即可求動點P的軌跡C的方程;
方法二:先由,知道動點P的軌跡是拋物線,,再建坐標系求動點P的軌跡C的方程;
(2)先由已知求得λ1•λ2<0,以及,再過A、B兩點分別作準線l的垂線,利用相似比得==,二者相結(jié)合即可得λ12為定值.
解答:解:(1)方法一:如圖,以線段FM的中點為原點O,以線段FM所在的直線為y軸建立直角坐標系xOy.則,F(xiàn)(0,1).
設動點P的坐標為(x,y),則動點Q的坐標為(x,-1),,
,得x2=4y.
方法二:由
所以,動點P的軌跡C是拋物線,以線段FM的中點
為原點O,以線段FM所在的直線為y軸建立直角坐標系xOy,可得軌跡C的方程為:x2=4y.
(2)由已知,,得λ1•λ2<0.
于是,,①
過A、B兩點分別作準線l的垂線,垂足分別為A1、B1,
則有==,②
由①、②得λ12=0.
點評:本題考查軌跡方程的求法以及直線與拋物線的綜合問題和向量的數(shù)量積.直線與圓錐曲線的位置關系,由于集中交匯了直線,圓錐曲線兩章的知識內(nèi)容,綜合性強,能力要求高,還涉及到函數(shù),方程,不等式,平面幾何等許多知識,可以有效的考查函數(shù)與方程的思想,數(shù)形結(jié)合的思想,分類討論的思想和轉(zhuǎn)化化歸的思想,因此,這一部分內(nèi)容也成了高考的熱點和重點.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,平面上定點F到定直線l的距離|FM|=2,P為該平面上的動點,過P作直線l的垂線,垂足為Q,且(
PF
+
PQ
)•(
PF
-
PQ
)=0

(1)試建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼,求動點P的軌跡C的方程;
(2)過點F的直線交軌跡C于A、B兩點,交直線l于點N,已知
NA
=λ1
AF
,
NB
=λ2
BF
,求證:λ1+λ2
為定值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,平面α上定點F到定直線l的距離FA=2,曲線C是平面α上到定點F和到定直線l的距離相等的動點P的軌跡. 設FB⊥α,且FB=2.
(1)若曲線C上存在點P0,使得P0B⊥AB,試求直線P0B與平面α所成角θ的大;
(2)對(1)中P0,求點F到平面ABP0的距離h.

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如圖,平面α上定點F到定直線l的距離FA=2,曲線C是平面α上到定點F和到定直線l的距離相等的動點P的軌跡. 設FB⊥α,且FB=2.
(1)若曲線C上存在點P,使得PB⊥AB,試求直線PB與平面α所成角θ的大;
(2)對(1)中P,求點F到平面ABP的距離h.

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科目:高中數(shù)學 來源:2010年上海市閘北區(qū)高考數(shù)學二模試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

如圖,平面上定點F到定直線l的距離|FM|=2,P為該平面上的動點,過P作直線l的垂線,垂足為Q,且
(1)試建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼,求動點P的軌跡C的方程;
(2)過點F的直線交軌跡C于A、B兩點,交直線l于點N,已知為定值.

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