Question

【題目】已知定義在R上的奇函數(shù)f（x），當x＞0時，f（x）=﹣x2+2x （Ⅰ）求函數(shù)f（x）在R上的解析式；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣1，a﹣2]上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設x＜0，則﹣x＞0，f（﹣x）=﹣（﹣x）2+2（﹣x）=﹣x2﹣2x． 又f（x）為奇函數(shù)，所以f（﹣x）=﹣f（x）且f（0）=0．
于是x＜0時f（x）=x2+2x．
所以f（x）= ．
（Ⅱ）作出函數(shù)f（x）= 的圖象如圖：
則由圖象可知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[﹣1，1]
要使f（x）在[﹣1，a﹣2]上單調(diào)遞增，
結合f（x）的圖象知 ，
所以1＜a≤3，故實數(shù)a的取值范圍是（1，3]．

【解析】（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)奇偶性的對稱性，即可求函數(shù)f（x）在R上的解析式；（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關系，利用數(shù)形結合即可求出a的取值范圍．
【考點精析】掌握奇偶性與單調(diào)性的綜合是解答本題的根本，需要知道奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性．