Question

由于連續(xù)遭受臺風(fēng)的襲擊，我國沿海某地有一工廠廠房倒塌，只余下長14米的舊墻一面，現(xiàn)工廠準備利用這面舊墻重新建造平面圖形為矩形，面積為126平方米的廠房，工程條件是：
（1）建1米新墻的費用為b元；
（2）修1米舊墻的費用為

b

4

元；
（3）拆去1米舊墻所得的材料建1米新墻的費用為

b

2

元，
試問利用舊墻多少米時建墻所用費用最��？

Answer 1

考點：基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

專題：應(yīng)用題

分析：先設(shè)利用舊墻x米為矩形的一邊長，則矩形的另一邊長為

126

x

米，由題意分0＜x＜14和x≥14兩種情況，分別列出建墻所用費用的關(guān)系式，利用基本不等式和函數(shù)的單調(diào)性求出它們的最小值，再進行比較即可．

解答： 解：設(shè)利用舊墻x米為矩形的一邊長，則矩形的另一邊長為

126

x

米，
①當(dāng)0＜x＜14時，建墻所用費用為：

y= b 4 x+ (14-x)b 2 +b(2x+ 2×126 x -14)=7b( x 4 + 36 x -1)(0＜x＜14)

，
因為

x 4 + 36 x ≥2 x 4 • 36 x =6

，當(dāng)且僅當(dāng)

x 4 = 36 x

取等號，
所以當(dāng)x=12時，y有最小值35b元，
②當(dāng)x≥14時，建墻所用費用為：

y= 7b 2 +b(2x+ 252 x -14)

因為函數(shù)

y=2x+ 252 x

在（0，3

14

）單調(diào)遞減，在（3

14

，+∞）單調(diào)遞增，
所以當(dāng)x=14時，函數(shù)y取最小值是

y= 7b 2 +b(2×14+ 252 14 -14)

=35.5b元，
綜上得，利用舊墻12米時建墻所用費用最�。�

點評：本題考查了基本不等式在實際生活中求最值，注意自變量的范圍和取等號的條件，屬于中檔題．