Question

已知M為橢圓

x2

4

+

y2

3

=1上一點(diǎn)，N為橢圓長(zhǎng)軸上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．給出下列結(jié)論：
①存在點(diǎn)M，N，使得△OMN為等邊三角形；
②不存在點(diǎn)M，N，使得△OMN為等邊三角形；
③存在點(diǎn)M，N，使得∠OMN=90°；
④不存在點(diǎn)M，N，使得∠OMN=90°．
其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用,橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,簡(jiǎn)易邏輯

分析：利用橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直接可判斷①正確②錯(cuò)誤，分情況討論點(diǎn)M，N的位置，利用余弦定理判斷cos∠OMN的取值范圍，即可確定③錯(cuò)誤，④正確．

解答： 解：∵過(guò)原點(diǎn)傾斜角為60°的直線一定與橢圓由交點(diǎn)，
∴假設(shè)y軸右側(cè)的交點(diǎn)是M，
在長(zhǎng)軸上取ON=OM，
則△OMN就是等邊三角形．
故①正確，②錯(cuò)誤；
若點(diǎn)M和點(diǎn)N在y軸兩側(cè)，
則∠OMN一定是銳角；
若點(diǎn)M和點(diǎn)N在y軸同側(cè)，
不妨設(shè)為在y軸的右側(cè)．
設(shè)點(diǎn)M（x，y），
則y2=3-

3

4

x2，且0＜x＜2．
由橢圓性質(zhì)可知，
當(dāng)點(diǎn)N是長(zhǎng)軸短點(diǎn)時(shí)，∠OMN最大，
∵|OM|²=x²+y²，
|MN|²=（x-a）²+y²=（x-2）²+y²，
|ON|²=a²=4
∴|OM|²+|MN|²
=x²+y²+（x-2）²+y²
=2x²-4x+4+2y²
=

1

2

(x-4)2+2
在x∈（0，2）上上式恒小于4，
即|OM|²+|MN|²＜|ON|²，
∴∠OMN＜90°．
故③錯(cuò)誤，④正確．
故答案為：①④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，直線與橢圓的位置關(guān)系，二次函數(shù)在固定區(qū)間上的最值等知識(shí)的綜合應(yīng)用．屬于難題．