Question

已知函數f（x）=x+

1

x

（1）判斷函數的奇偶性，并加以證明；
（2）用定義證明f（x）在[1，+∞）上是增函數．

Answer 1

考點：函數奇偶性的判斷,函數單調性的判斷與證明

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據函數奇偶性的定義即可判斷函數的奇偶性；
（2）根據函數單調性的定義即可證明f（x）在[1，+∞）上是增函數．

解答： 解：（1）函數f(x)=x+

1

x

為奇函數
證明：對于函數f(x)=x+

1

x

，其定義域為{x|x≠0}
因為對于定義域內的每一個x，
都有f(-x)=-x+

1

-x

=-(x+

1

x

)=-f(x)，
所以，函數f(x)=x+

1

x

為奇函數
（2）設任意x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂
則f(x1)-f(x2)=(x1+

1

x1

)-(x2+

1

x2

)=(x1-x2)+

x2-x1

x1x2

=(x1-x2)(1-

1

x1x2

)=

(x1-x2)(x1x2-1)

x1x2

已知x₁，x₂∈[1，+∞），則x₁x₂-1＞0，x₁-x₂＜0
即f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x₁）＜f（x₂）
∴f(x)=x+

1

x

在[1，+∞）上是增函數

點評：本題主要考查函數奇偶性和單調性的判斷和證明，利用定義法是解決本題的關鍵．