Question

5．一企業(yè)由于生產(chǎn)某種產(chǎn)品的需要欲購(gòu)進(jìn)某種設(shè)備若干臺(tái)，該設(shè)備運(yùn)行臺(tái)數(shù)只與月產(chǎn)量有關(guān)，根據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì)，該設(shè)備運(yùn)行1臺(tái)的概率為$\frac{1}{3}$；運(yùn)行2臺(tái)的概率為$\frac{1}{2}$；運(yùn)行3臺(tái)的概率為$\frac{1}{6}$，且每月產(chǎn)量相互沒(méi)有影響．
（1）求未來(lái)3個(gè)月中，至多有1個(gè)月運(yùn)行3臺(tái)設(shè)備的概率
（2）若某臺(tái)設(shè)備運(yùn)行，則當(dāng)月為企業(yè)創(chuàng)造利潤(rùn)12萬(wàn)元，否則虧損6萬(wàn)元，欲使企業(yè)月總利潤(rùn)的均值最大，購(gòu)該種設(shè)備幾臺(tái)為宜？

Answer 1

分析 （1）至多有1個(gè)月運(yùn)行3臺(tái)包括一個(gè)月也沒(méi)有和恰有一個(gè)月，根據(jù)互斥事件概率計(jì)算公式求解即可；
（2）分別設(shè)購(gòu)2臺(tái)時(shí)，月利潤(rùn)為X（萬(wàn)元），購(gòu)3臺(tái)設(shè)備時(shí)，月利潤(rùn)為ξ（萬(wàn)元），寫(xiě)出利潤(rùn)的分步列，求出期望值即可判斷．

解答 解（1）所求概率事件包含有且僅有一個(gè)月運(yùn)行3臺(tái)設(shè)備和三個(gè)月都沒(méi)有運(yùn)行3臺(tái)設(shè)備兩個(gè)互斥事件，運(yùn)行三臺(tái)設(shè)備的概率為$\frac{1}{6}$，未能運(yùn)行三臺(tái)設(shè)備的概率為$\frac{5}{6}$
∴$p=C_3^1\frac{1}{6}{（\frac{5}{6}）^2}+{（\frac{5}{6}）^3}=\frac{200}{216}=\frac{25}{27}$
（2）由題意：該企業(yè)最多購(gòu)三臺(tái)設(shè)備，當(dāng)購(gòu)1臺(tái)設(shè)備時(shí)，月利潤(rùn)為12萬(wàn)元．
當(dāng)購(gòu)2臺(tái)設(shè)備時(shí)，設(shè)月利潤(rùn)為X（萬(wàn)元），當(dāng)購(gòu)3臺(tái)設(shè)備時(shí)，設(shè)月利潤(rùn)為ξ（萬(wàn)元）
X的分布列為：ξ的分布列為：

X	6	24
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{2}{3}$

ξ	0	18	24
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{6}$

EX=18（萬(wàn)元）     Eξ=13（萬(wàn)元）
∴購(gòu)該種設(shè)備2臺(tái)為宜．

點(diǎn)評(píng) 考查了互斥事件的概率求法和利用分步列解決實(shí)際問(wèn)題．