Question

7．已知P是直線BC上異于B，C的任意一點(diǎn)，O是直線BC外的任意一點(diǎn)，若存在實(shí)數(shù)x，y使得$\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OB}+y\overrightarrow{OC}$，則x+y=1．

Answer 1

分析 可作出圖形，可知B，P，C三點(diǎn)共線，從而根據(jù)共線向量基本定理有$\overrightarrow{BP}=λ\overrightarrow{BC}$，由向量減法的幾何意義和向量的數(shù)乘運(yùn)算即可得到$\overrightarrow{OP}=（1-λ）\overrightarrow{OB}+λ\overrightarrow{OC}$，這樣由平面向量基本定理便可以得出x+y的值．

解答 解：如圖，

B，P，C三點(diǎn)共線，且不重合；
∴存在λ，使$\overrightarrow{BP}=λ\overrightarrow{BC}$；
∴$\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OB}=λ（\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}）$；
∴$\overrightarrow{OP}=（1-λ）\overrightarrow{OB}+λ\overrightarrow{OC}$；
又$\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OB}+y\overrightarrow{OC}$；
∴由平面向量基本定理得，x+y=1．
故答案為：1．

點(diǎn)評 考查共線向量基本定理，平面向量基本定理，以及向量減法的幾何意義，向量的數(shù)乘運(yùn)算．